全国卷文科函数与导数 复习

函数与导数（文）复习2013年：2选择（函数图象、分段函数）+20题（导数几何意义、极值）2014年：2选择（奇偶函数、导数）+21题（导数几何意义、不等式、存在性问题）2015年：2选择（分段函数、指数函数）+1填空（导数）+21题（零点、单调性、最值）2016年：2选择（函数图象、指数函数）+21题（单调性、参数取值范围、零点）2017年：2选择（函数图象、函数性质）+1填空（导数）+21题（单调性、最值）一、函数的概念及其表示1、映射（函数）的概念：设A，B是非空的集合（数集），如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素（数）x，在集合B中都有唯一确定的元素（数）)(xf和它对应，那么就称BAf:为集合A到集合B的一个映射（函数），记作：Axxfy,)(。2、函数的三要素：（1）定义域：自变量x的取值范围；（2）对应关系：即函数解析式；（3）值域：函数值y或)(xf的取值范围，值域是集合B的子集。例1.根据概念判断下列是否是函数例2.下列图形中，不可作为函数)(xfy图象的是（）例3.下列从集合A到集合B的对应中是函数的是（）A.NBA，3:xyxfB.1,0,BRA，00)0(1:xxyxfC.QBZA,，xyxf1:D.16,9,4,1,0,9,2,1,0BA，21:xyxf12342468（）1234246（）1232468（）-112-214（）14-11-22（）ABBBBBAAAAyxOAyxOByxOCyxOD例4.下列哪一个函数与xy相等（）A.2xyB.33xyC.2xD.xxy2例5.下列各组中函数相同的是（）A.4ln)(xxf；xxgln4)(；B.xxf)(；2)(xxg；C.xxxftancos)(；xxgsin)(；D.2)(xxf；4)(xxg；3、函数定义域的求法：（1）分式中分母0；（2）偶次根式内要0；（3）零次幂下0x中0x；（4）对数式中真数位置0；（5）xtan函数中Zkkx,2例1.函数xxxy432 的定义域为 ()A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)∪(0,1]例2.函数365lg4)(2xxxxxf的定义域为4、抽象函数的定义域：两大原则：（1）定义域指的是x的取值范围；（2）函数内两个小括号所对应的范围相同；例1.已知函数)(xf的定义域是1,0，则函数)(lgxf的定义域是？例2.若)12(xf的定义域为4,1，则)3(xf的定义域是？5、函数值域的求法：（1）配方法：二次函数类用配方法；（2）单调性法：根据单调性确定最值，从而确定值域；（3）数形结合法：根据函数的图象，通过定义域在图上确定函数值的变化范围；例1.函数1,1,12xxxxf的值域是例2.函数12xxf的值域是6、函数解析式的求法：（1）待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法：用于求复合函数)(xgf的解析式，但要注意新元的取值范围；（3）消去法（解方程组法）：根据已知条件构造另一个等式，解方程组；（4）拼凑法：要求技巧较高，不建议使用！例1.已知函数是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式.例2.若函数f(x)满足xxxf2)1(,求函数f(x)的解析式例3.若函数f(x)满足xxfxf31)(2,则函数f(x)的解析式为7、分段函数的解题策略：（1）已知自变量，求函数值，需找准对应的段；（2）已知函数值，求自变量，需分情况讨论。例1.设函数1,21,2log1)(12xxxxfx，求)12(log)2(2ff（）A.3B.6C.9D.12例2.已知0,)1(0,121)(2xxxxxf，求使f(x)≥-1成立的x的取值范围【2015全国I卷10题】已知函数错误!未找到引用源。，且f（a）=-3，则f（6-a）=（）（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14【2014全国I卷15题】设函数113,1,,1,xexfxxx则使得2fx成立的x的取值范围是________.二、函数的单调性与最值1、单调性的两种表示：定义增函数减函数文字当21xx时,都有)()(21xfxf,那么就说函数f(x)在区间上是增函数；（即变化相同）当21xx时,都有)()(21xfxf,那么就说函数f(x)在区间上是减函数；（即变化相同）图形图形上升图形下降2、判断单调性的方法（1）定义法：一般用于证明题；（2）图象法：一般用于较简单的熟悉函数；（3）导数法：若在区间内0'xf，则)(xf在该区间内为增函数；若在区间内0'xf，则)(xf在该区间内为减函数；（4）利用函数的性质：增+增＝增；减+减＝减；－增（减）＝减（增）；④减（增）增（减）1（5）利用复合函数的关系：同增异减例1.例1下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ()A.1xy B.21xyC.xy2D.12log5.0xy例2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ()A.y=|x|B.y=3-xC.xy1 D.42xy 例3.函数1062xxy在区间(2,4)上 ()A.递减B.递增C.先递减后递增D.先递增后递减例4.函数xxxf2log)(22的单调递减区间为例5.函数4log)(25.0xxf的单调递增区间为 ()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)例6.函数62xxy的单调递增区间为例7.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是 ()A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)总结反思：（1）函数的单调性与“区间”紧密相关,函数的单调区间是函数定义域的子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.（2）由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.（3）利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.3、利用函数的单调性求参数的取值范围例1.已知函数1,log1,4)13()(xxxaxaxfa(其中a0且a≠1)满足对任意的实数21xx都有02121xxxfxf成立,求实数a的取值范围总结反思：对于分段函数要想为增（减）函数，需满足两个条件：（1）各段上要为增（减）函数；（2）左端点要小于（大于）右端点。三、函数的奇偶性1、函数奇偶性的两种表示：奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数f(x)是奇函数。（即函数值相反为奇函数）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数f(x)是奇函数。（即函数值相反为奇函数）图形关于原点对称关于y轴对称2、函数奇偶性的判断方法：（1）利用定义法；判断定义域是否关于原点对称；对定义域内任意一个x，判断f(-x)与f(x)的关系；得出结论。（2）利用图象法；画出图象；根据图象的对称得出结论。3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；（3）若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0；（4）在相同定义域内：奇奇＝奇；偶偶＝偶；奇×奇＝偶；④偶×偶＝偶；⑤奇×偶＝奇；注意：公式不需要记，只需要快速判断作运算的两个部分变不变号；例1下列函数:①11)(22xxxf;②xxxf3)(;③1ln)(2xxxf;④xxxf11ln)(;⑤xxxxf11)1()(;⑥334)(2xxxf;奇函数的个数是 ()A.3B.4C.5D.6总结反思：（1）判断奇偶性前先判断定义域；（2）在定义域的前提下可先化简函数解析式；（3）在对数式中，要善于利用xxaalog1log；（4）在指数式中，要善于利用xx212；例1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ()A.21xyB. xxy1C.xxy212D.xexy例2.若函数2ln)(xaxxxf为偶函数,求a的值。例3.若231)(xaxxf为奇函数,则实数a的值？总结反思：若已知函数是奇（偶）函数求未知参数，可利用特殊点代入验证即可。特殊的，若已知函数是奇函数且定义域包含原点，则可利用f(0)=0。例4.已知bxaxxf2)(是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是？例5.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则正确的是 ()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数例6.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.-3B.-1C.1D.3总结反思：函数的奇偶性揭示了自变量互为相反数的两个函数值之间的关系，可以由其中一个自变量的函数值求得与其互为相反数的另一个自变量的函数值。例7.已知偶函数)(xf在区间,0上单调递减，则满足3112fxf的x的取值范围是？总结反思：在函数的奇偶性与单调性的综合应用中，要注意使用大致图象来帮助分析问题。探究点二：函数的周期性的判断与应用四、函数的周期性1、周期函数的定义：周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x)时,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.目前具有周期性的函数有：kTxy22:sin、kTxy22:cos、kTxy:tan另外：ni中，T＝4；2、常见的求周期类型：若)()1(xfxf，则T＝；若)()1(xfxf，则T＝；若)()2(xfxf，则T＝；若)(1)2(xfxf，则T＝；若)(1)2(xfxf，则T＝；若)5()2(xfxf，则T＝；结论：（1）)()(xfaxf，则aT；（2）)()(xfaxf，则aT2；（3）)(1)(xfaxf，则aT2；（4）)(1)(xfaxf，则aT2；（5）)()(bxfaxf，则aT2；例1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x-1时,2)2()(xxf;当-1≤x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)等于 ()A.335B.338C.1678D.2012例2.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤xπ时,f(x)=0,则623f=总结反思：若没有给出确定的周期，可先根据上述给的周期类型进行判断，若不属于上述周期类型，则需要自己猜想验证周期，猜想的思路都是类似的。例3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足)(1)2(xfxf,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=.例4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为总结反思：若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0，这个结论很容易被忽略。3、函数基本性质的综合应用（1）利用函数性质求函数值关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到已知