椭圆定义及标准方程

第二章圆锥曲线与方程问:解析几何要解决的两类基本问题是什么?答:(1)已知曲线研究其方程;(2)已知曲线方程研究其曲线的性质.1F2F),(yxM回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法:1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹2、求轨迹方程的基本步骤：（1）建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合(可以省略);（3）将条件P（M）坐标化，列出方程;（4）对方程化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，应当适当予以说明).设想：平面内与两定点的距离的和等于定长的点的轨迹是什么呢？返回求方程返回解例22.1椭圆定义及标准方程——仙女座星系星系中的椭圆----“传说中的”飞碟平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是;问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是.线段F1F2不存在一、椭圆定义：……………二、椭圆的标准方程：1F2F),(yxMOxy设M(x,y)是椭圆上任一点，由定义知：aMFMF221()()aycxycx22222-如图建立直角坐标系椭圆的焦距为2c(c0)，则F1(-c,0)、F2(c,0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a。分析：（2）如何建系，使得椭圆的方程较简单？（1）求椭圆的方程出发点？（定义）回顾求轨迹方程步骤将方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx---()222ycxacxa--两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa--()()22222222caayaxca--1F2FxyO),(yxM由椭圆定义知：0,,2222-cacaca即()()aycxycx22222-():0222得设-bbca222222bayaxb这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2.如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上，可得出它的方程为：()012222babxay它也是椭圆的标准方程。()012222babyax两边同除以得：22ba222222bayaxb1F2FxyO),(yxMyoF1F2MxyxoF1F2M二、椭圆的标准方程：*两种椭圆图形的异同点:两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．x、y下的分母大小不同。同:异：形状相同,大小相同，a,c几何意义相同，并且：其中a最大,b,c大小无法确定。()012222babyax()012222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=c2+b2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，（a总是最大）或看焦点坐标来决定a、b。()012222babxayyoF1F2MxyxoF1F2M二、椭圆的标准方程：()012222babyax1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标。11625)1(22yx答：在x轴，1169144)2(22yx答：在y轴。11)3(2222mymx答：在y轴。判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。课堂练习：a2=25,b2=16;（±3，0）.a2=169,b2=144;（0，±5）a2=m2-1,b2=m2;（0，±1）2椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.10192522yxA3.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A2B2C2D218222myx28m-m-2282-m222-mA4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__________.1,6ca2213635yx跳到注小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:①椭圆的定义中a、b、c皆正，a2=b2+c2,其中2c是椭圆焦距；②要注意特征量a、b、c的几何意义,它们确定椭圆的形状.③焦点的位置由椭圆的标准方程中x2,y2的分母大小或焦点坐标来决定；求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方程解题.作业:1、《课》P33练习1、2P39习题1。2、《世纪金榜》P18-19基础达标1、3、43、补充：若表示椭圆，求k的取值范围再见！1162422-kykx[注]：1.标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。3.由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的标准方程需要三个条件：焦点位置、a、b的值。2.焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。一般先定位后定形！()04，()04，-例１求适合下列条件的椭圆的标准方程．①两个焦点的坐标分别是、椭圆上一点到两焦点距离的和等于10．192522yx小结②两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),并且经过-2523，解法1解法2③求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。323分析：由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为mx2+ny2=1(m、n0且m≠n),其中m、n的大小先不做确定，即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后再行判断其焦点位置。③：求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。332解：设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n0)因为椭圆过点A（,-2)和B（，1），故得3m+4n=1与12m+n=1所以，所以，椭圆的方程为332151522yx51,151nm反思：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行分类讨论，但计算较为复杂。一般可先设其方程为mx2+ny2=1(m、n0且m≠n)，只是此时m、n的大小还未确定，用已知的条件来求出其值即可确定X、Y型。所以像这种求椭圆方程先假设其方程,然后根据题目条件得出所求方程的方法,我们称之为待定系数法。③：求焦点在坐标轴上，且经过A（,-2)和B（，1）两点的椭圆的标准方程。332()012222babyax12xyoFFMyxoF2F1M()012222babxay定义图形标准方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)椭圆的标准方程,焦距为2c,焦距为2c1、椭圆的焦距为222312xy212xy-所表示的曲线是2、3、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是221259xymm-4、已知椭圆上一点P到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离是2212516xy5、已知F1，F2是椭圆的两焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若，则221169xy5AB11AFBF22右半个X型椭圆（8,25）711练习：例2、已知点P是椭圆4y2+5x2=20上的一点，F1与F2是焦点，且∠F1PF2=600，求△F1F2P的周长与面积。252334回顾求轨迹方程步骤例3：已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，222516xy∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即点P的轨迹方程为＝1．解：设｜PB｜＝r．即｜PA｜＋｜PB｜＝10∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．(大于｜AB｜)．练习：已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.ABCxyO解：建系如图，由题意|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10，∴由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，2c=6,2a=10，∴c=3，a=5，b2=a2-c2=52-32=16.故顶点A的轨迹方程是：1162522yx(y≠0)小结：1、先定位后定量；2、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准方程为mx2+ny2=1(m、n0且m≠n)3、设方程技巧：与有相同焦点的椭圆方程不妨设为4、求动点的轨迹方程时：①若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤;②若可由定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。③求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根，如有，应在方程后注明限制条件。12222byax22221xyakbk②椭圆过点A(2,－3)，且与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点。求该椭圆的标准方程1162422-kykx补充作业：①若表示椭圆，求k的取值范围③平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程④在平面直角坐标系中，已知△ABC中B(-3,0)，C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。练习：在平面直角坐标系中，已知三角形中B(-3,0)，C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。分析：因为B（-3，0），C（3，0）所以|BC|=6又三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列122BCABAC　　ABC解：（根据例题同理可知）A点的轨迹方程是)01273622yyx　（ABC22221yxab()0ab102225232252322222---a161022xyy因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知：6222-cab10a2c∴，又，∴所以所求椭圆的标准方程为：解：返回12222bxay()0ba--412325222222baba解:设所求的标准方程为依题意得61022ba161022xy解得:所以所求椭圆的标准方程为:．返回