椭圆总结(全)

1椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2122FFaa的动点P的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|edPF，0＜e＜1的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中22bac（一个Rt三角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中22bac注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3参数方程：焦点在x轴，sincosbyax（为参数）4一般方程：)0,0(122BAByAx5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：①范围：|x|≤a，|y|≤b；②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；③顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:奎屯王新敞新疆对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:奎屯王新敞新疆2焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称奎屯王新敞新疆⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r=a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0caPFcaPFminmax,，左加右减，上减下加⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab22平面几何性质：⑦离心率：e=2221ccbaaa（焦距与长轴长之比）1,0；e越大越扁，0e是圆。⑧焦准距cbp2；准线间距ca22⑨两个最大角221max21221max21,ABAPAAFBFPFF焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）的性质可类似的给出。6．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：21FPFS＝21r1r2sin＝21·2c|y0|=c|y0|=2tan2b(其中P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆12222byax（a＞b＞0）的共焦点椭圆设为222221()xybab8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式：22121221111ABkxxyykka1212bxxacxxa（a,b,c为方程的系数二．典型例题考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）3A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能例2.点P为为椭圆)0(12222babyax上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：21PFPF取得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例5.已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值OxyDPABCQ4考点3椭圆的最值问题题型1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为___________．题型2.一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例7.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例9.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。5四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。考点4直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1)常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。(2)弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△0这一制约条件不同意。22121221111ABkxxyykka1212bxxacxxa（a,b,c为方程的系数）例11.已知直线l过椭圆729822yx的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，求弦MN的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1)B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设),(00yxp为AB的中点。两式相减，02022122122121)()(yaxbyyaxxbxxyy3.得出2121xxyyk注：一般的，对椭圆12222byax上弦AB及中点，M，有22abKKOMAB例12.已知椭圆1222yx，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程6考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式),(),(0yxyyyxfxo3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用)()(tyytfx(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13：ABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94，求顶点A的轨迹方程：考点六综合性问题，与平面向量结合例15.（2009四川卷理）（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率22e，右准线方程为2x。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点1F的直线l与该椭圆交于,MN两点，且222263FMFN，求直线l的方程。7基础训练A组1．椭圆63222yx的焦距是（）A．2B．)23(2C．52D．)23(22．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆3．P是椭圆1422yx上一点，P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点的准线距离为（）A．63B．332C．23D．324．若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（）A．43B．32C．21D．414．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3，这个椭圆方程为（）A．191222yxB．112922yxC．112919122222yxyx或D．以上都不对6．离心率21e，一个焦点是3,0F的椭圆标准方程为___________.7．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．8.设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于_____________9.已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=________10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32e，短轴长为58，求椭圆的方程．11．已知A、B为椭圆22ax+22925ay=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=58a，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．812.求椭圆)0(12222babyax的内接矩形面积的最大值奎屯王新敞新疆13.已知圆22yx＝１，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹.14.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）)0(12222babyax3322（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B22两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为9综合训练B组1．下列命题是真命题的是（）A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B．到定直线cax2和定点F(c，0)的距离之比为ac的点的轨迹是椭圆C．到定点F(－c，0)和定直线cax2的距离之比为ac(ac0)的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线cax2和定点F(c，0)的距离之比为ca(ac0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(，则椭圆方程是（）A．14822xyB．161022xyC．18422xyD．161022yx3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件)0(921aaaPFPF，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段5．椭圆12222byax和kbyax22220k具有（）A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴6．已知yxP,是椭圆12514