椭圆标准方程及几何性质

5.2椭圆第一节椭圆的标准方程2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。生活中的椭圆数学实验：新课讲解结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？思考：F1F2MF1F2M平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。1、椭圆的定义如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a2c）}平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。（1）平面曲线（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a（3）定长﹥|F1F2|(2a2c)理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？动点M的轨迹：线段F1F2.MF1F2动点M的轨迹：不存在.时，即a=c时当2121FFMFMF=+时，即ac时当2121FFMFMF+OXYF1F2M步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤三：列方程步骤四：化简方程求曲线方程的步骤:2、椭圆的标准方程步骤五：完备性检验解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）222221)(||,)(||ycxMFycxMF+=++=aycxycx2)()(2222=++++得方程由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2xyoacbcaOP==22||令则方程可化为观察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？12222=+byax即122222=+cayaxa2-c2有什么几何意义？b0ab（）)0(12222=+babxay012222=+babyax焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMxF1（-c，0）、F2（c，0）F1（0，-c）、F2（0，c）注意理解以下几点：①在椭圆的两种标准方程中，都有0ba的要求；②在椭圆的两种标准方程中，由于，22ab所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；,,abc222abc=+0,0,abacbc和③椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．思考：（1）将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。（2）椭圆的中心在点（m,n），标准方程式什么？11625)1(22=+yx）0(11)4(2222=++mmymx123)3(22=yx分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？0225259)2(22=yx跟踪练习变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？192522=+xy变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？192522=+yx192522=+xy已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；221259xy+=2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：)0(12222=+babxay例1.椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P，求标准方程。解：法1：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵c=2，且c2=a2-b2∴4=a2-b2……①又∵椭圆经过点P2523，∴……②1)()(22232225=+ba联立①②可求得：6,1022==ba∴椭圆的标准方程为161022=+xyxyF1F2P2523，例题讲解法2：设它的标准方程为由椭圆的定义知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222======+=++++=cabcaa　　又　　所以所求椭圆的标准方程为.161022=+xy求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量))0(12222=+babxay1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．191622=+yx1FCDF22．椭圆的焦距是，焦点坐标为；的弦，则的周长为．若CD为过左焦点跟踪练习2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标探究定义a、b、c的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0)P={M||MF1|+|MF2|=2a（2a2c）}．知识总结例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．一、求椭圆的标准方程例题讲解解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∴2a＝5＋42＋5－42＝10∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)∴4a2＋0b2＝10a2＋1b2＝1⇒a2＝4，b2＝1.故所求椭圆的方程为y24＋x2＝1.1.根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．跟踪练习解：(1)设所求椭圆的方程为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．∵椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，∴0m＋4n＝1，14m＋3n＝1，解得m＝1，n＝4.∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±5)则可设所求椭圆方程为x2m＋y2m＋5＝1(m＞0)．又椭圆经过点(2，-3)则有4m＋9m＋5＝1.解得m＝10或m＝－2(舍去)．∴所求椭圆的方程为x210＋y215＝1.例2.已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．二、利用椭圆的定义求轨迹方程例3.已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意一点，AC中垂线与CB交于点P，求点P的轨迹方程。解：设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M的轨迹方程是x216＋y27＝1.∴b2例4.有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星近地点约200公里，远地点约500公里，地球半径R约6400公里，求运行轨道方程。xoFF1ABy规律：近地点和远地点一定是长轴的两个端点。1.已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64内切，而和定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4外切．求动圆圆心M的轨迹方程．跟踪练习解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，3），半径r1＝8，r2＝2.则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.又|C1C2|＝6，∴动圆圆心M的轨迹是椭圆，且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，且2a＝10，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴动圆圆心M的轨迹方程是y225＋x216＝1.－2.设点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。94BAM思考：斜率之积为m(m0)?。三、椭圆的应用例6.已知P为椭圆x216＋y29＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积S.例5.方程表示椭圆，求k的范围。12322=+kykx解：在椭圆x216＋y29＝1中，a＝4，b＝3所以c＝7.因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝8，①在△PF1F2中，∵∠F1PF2＝60°，根据余弦定理可得：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝28，②∴|PF1||PF2|＝12.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin600＝33.1.本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．解：因x216＋y29＝1，∴a＝4，b＝3，c＝7.点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝8.在△PF1F2中，∵∠F1PF2＝90°，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|2|2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18.∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝9.PF跟踪练习OxyMF1F2思考：当∠F1PF2＝时，焦点三角形面积S=?2tan2bS=第二节椭圆的几何性质平面内与两个定点F1,F2的距离之和为常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距(2c)。1、椭圆的定义注意“常数2a”的条件：2a=2c等于——线段2a2c小于——无轨迹知识回顾按照坐标法的基本步骤推导，注意带根号的式子的化简。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：焦点坐标为：F1(c,0)，F2(-c,0)其中012222=+babyax222cba+=2、椭圆的标准方程xyF1F2MO当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：依然成立。焦点坐标为：F1(0,c)，F2(0,-c)012222=+babxay222cba+=xyF1F2MO１、范围对于椭圆：（ab0)为例由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式≤1,即x2≤a2,y2≤b2，∴∣x∣≤a,∣y∣≤b.22ax22by12222=+byax≤1,椭圆的几何性质新课讲解x这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里。oya-ab-b在椭圆上，任取一点(x,y),其关于x轴、y轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的。xo(x,y)(x,﹣y)(﹣x,y)(﹣x,﹣y)y２、对称性其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.３、顶点椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B24、离心率【定义】焦距与长轴长的比【范围】0e1.【几何意义】e→1,椭圆越扁,e→0,椭圆越趋近于圆..【变形公式】2222211abeabe==ace=5、准线方程右准线的方程是左准线的方程是如图所示:xyocax2=cax2=cax2=cax2=xyocax2=cax2=6、椭圆第二定义平面内到定点F(C,