比较、综合、分析法证明不等式

证明不等式的基本方法2.1比较法ab0ab，ab=0a=b，ab0ab.一.理论依据二.基本步骤比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法.上题用的是作差比较法.作差变形定符号下结论(1)积、商(2)平方因式分解、通分配方变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。至于怎样变形，要灵活处理。例1设a≠b,求证:a2+3b22b(a+b)证:a2+3b2-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2∵a≠b,∴(a-b)20∴a2+3b22b(a+b)例2已知a,b都是正数，并且a≠b,求证:552332ababab证：552332()()ababab532523()()aabbab322322()()aabbab2233()()abab变已知实数a,b满足a≠b,且a+b0,求证:说明:变形要到位,直到能判断式子的符号为止.0,0,.abbaababab已知证明例3比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法.上题用的是作商比较法.若b0,则a/b1ab，a/b=1a=b，a/b1ab.二.基本步骤作商变形与“1”比较大小下结论一.理论依据思考:哪些不等式的证明用作商比较法较为合理.练习：1.已知a1,a2,…,an为各项都大于零的等比数列，其公比q≠1，则()A.a1+a8a4+a5;B.a1+a8a4+a5;C.a1+a8=a4+a5;D.a1+a8与a4+a5的大小关系不能由已知条件确定。A2.求证:x2+33x小结：•作差比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。•要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。综合法与分析法从已知条件出发,利用定义、定理、公理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…abcbacacbcbacba6)()()(,,0,,1222222求证且不全相等已知例abccbaabccb2)(,0,2:2222证明abcacbbacac2)(,0,22222abcbaccabba2)(,0,22222abcbacacbcbacba6)()()(,,,,222222把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于【知识应用】nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,,a,221n21n21求证且已知例.1,21,122)1()1)(1(,,,,,21,,21,21,:21.21212122111时取等号所以原式在取等号时得由不等式的性质同理证明niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个成立的事实(定义、公理、定理、性质或以证明的命题)从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…63723求证例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372:22成立所以成立只需证只需证展开得只需证所以要证都是正数和证明abccbaaccbbacba222222,0,,4求证已知例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,,,)(:可以考虑用右边各项涉及三个字母平方之积左边各项是两个字母的观察上式要证的不等式可化为分析abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2:故又证明abccbaaccbbacba222222,0,,4求证已知例综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．综合法与分析法的优点22a+ba+b+ab-11.求证：3.问题：已知|a|1,|b|1，求证|1-ab||a-b|2.求证:11x,yR,x+y=1(1+)(1+)9xy【当堂检测】