华东师大版数学八年级上14.2勾股定理的应用

勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。cabABC∵在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,a2+b2=c2.逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。∵△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,∠C=90º(△ABC是直角三角形).cabABC一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）ABDCACBD解：在Rt△ABC中，AB=4cm,BC=10cm根据勾股定理得：例1：)(77.101161042222cmBCABAC如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？B蛋糕A例2、BABc解：如图，在Rt△ABC中，AC=10，BC=20∴AB2=AC2+BC2=102+202=500，∴AB=105∴105＞20练习1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）√5（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?2.3米2米ABCODH在直角三角形OCD中，OC=1OD=0.8CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36∴CD=0.6CH=2.3+0.6=2.9∵2.9＞2.5∴能通过一辆高３米，宽2.4米的卡车要通过一个半径为3.6米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？练习OA１.２米CD3.6米BAB2=3.62-1.22=12.96-1.44=11.52∵11.52＞32所以能通过2AB例4如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：(1)从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2；(2)画出所有的以(1)中的ＡＢ为边的等腰三角形,使另一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数．A分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．解(1)图1中AB长度为2．(2)图2中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形．图1图222CBD例5：甲船以每小时30海里的速度，从A处向正北方向航行，同时乙船从A处以每小时40海里的速度向正西方向航行，两小时后，甲、乙两艘轮船相距多少海里？ABC甲乙304022××=60=80(海里)(海里)甲船以每小时30海里的速度，从A处向正北方向航行，同时乙船从A处以每小时40海里的速度向正西方向航行，两小时后，甲、乙两艘轮船相距多少海里？ABBC=(30×2)2+(40×2)2C解：如图，在Rt∆ABC中，BC2=AB2+AC2=100(海里)答：甲乙两船相距100海里。1、已知：等边△ABC的边长是6cm(1)求高AD的长.(2)求S△ABC.ABDC例6.解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD是高，在Rt△ABD中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，∵AD2=AB2-BD2cmBDABAD2793622∴（三线合一）321BCBDABDC例(2)S△ABC＝ADBC21=(cm2)393321=×6×等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。8XDAC∴S∆ABC=BC•AD÷2=2•6•8÷2=48B即X2+64=256-32X+X2解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：∴X=6X2+82=(16-X)2例7.小结１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题．应用勾股定理解决实际问题的一般思路：作业1：在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？.DBCA2：如图一只蚂蚁想从圆柱形的桶外A点爬到桶内B点去寻找食物，已知A点到桶口的距离AC12cm,B点桶口的距离BD为8cm,狐CD的长为15cm,若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短距离是多少？ABCD··解析:现在如果我们把圆柱形的桶的侧面展开则得到矩形，A、B两点就转化为平面的两点，如图，原问题转化为在线段CD上找一点P，使PA+PB最短。作出B点关于直线CD的对称点B1，连接AB1，交CD于点P，由“两点之间线段最短”可知AB最短，再由对称性可得PB=PB1，因此，蚂蚁沿路线AP、BP所走路线最短（即AB的距离）。过点B1作B1F⊥AC的延长线于点F，可得AF=20，FB1=15，由勾股定理可得AB1=25(cm).ABCB1PFD··