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•1．平行四边形ABCD（非矩形和菱形）中，CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，NM与BD延长交于点P。求证：PC⊥AC。2．已知AF、DC是圆O的直径，E是CF延长线上一点，DE交圆O于B，直线AB、OE交于P。求证：PC是圆O的切线。3．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、AD，分别与直线OP交于E、F。求证：OE＝OF。4．ABCD是圆ω的内接四边形，CP、DQ是ω的直径，过P、Q作的ω切线与直线AB交于E、F。直线EO与AC、BC交于X、Y，直线FO与AD、BD交于U、V。求证：XV＝YU。（2010年俄罗斯竞赛5．已知：AB是圆O的直径，P是过B点的切线上任一点，过P作任意割线PCD，联结AC、PO交于E点。求证：∠DBE＝90°6．在△ABC中，AB≠AC，I是内心，直线AI与△ABC的外接圆交于D。过D作DP⊥AD交BC于P，△ABC的B-旁切圆切AC于E，C-旁切圆切AB于F。求证：EF⊥PI。（2007年秘鲁国家队选拔考试）7．已知：直角△ABC，D是斜边AB的中点，MB⊥AB，MD交AC于N，MC延长线交AB于E。求证：∠DBN＝∠BCE。（2007年第4届东南地区数学奥林匹克8．自圆内接四边形ABCD的每边端点作邻边的垂线，相邻垂线分别交于E、F、G、H。求证：E、F、G、H四点共线。9．已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。过A、B分别作邻边AD和BC的垂线交于E点。求证：E、O、P三点共线。10．在△ABC两侧作△ABF、△ACE，使得∠BAE＝∠CAF＝90°，且∠ABF＋∠ACE＝180°。O是△ABC的外心。求证：E、O、F三点共线。11．M为AC上任一点，BM延长交圆O于P，过P作CP垂线交OM延长线于Q。求证：BA⊥AQ。12．D为△ABC外接圆上任一点，AD中垂线交AC于E，BE延长交外接圆于F，过F作CF的垂线交AD中垂线于G。求证：D、E、F、G四点共圆。13．设P是△ABC外接圆上任一点，自P分别作PA、PB、PC的垂线，与对应边BC、CA、AB或延长线交于D、E、F，则D、E、F及外心O共线14．设AB是圆O的弦，PB⊥AB，过P作圆O的割线PCD，联结AC、OP交于E。求证：EB⊥DB。15．设P是△ABC所在平面上任意一点，自P作PA、PB、PC的垂线，分别与对应边BC、CA、AB交于D、E、F，则D、E、F三点共线。16．已知D在△ABC的九点圆上，E、F分别在AB、AC边上，且∠BDF＝∠CDE＝90°。求证：EF过△ABC的外心O。17．已知：PB垂直于圆O的弦AB，过P作任意割线PCD，联结AC、AD与直线PO交于E、F，DE、CF分别交圆O于M、N，MN与PO延长交于Q。求证：QA是圆O的切线。18．如图，AB是圆O的任意弦，PB是切线，PCD、PST是两条任意割线，AB、AC、AD分别与PST相交于Q、E、F。求证：19．已知：PF⊥PC，PB⊥PE，延长PE、PF交△ABC外接圆于B'、C'，联结B'F、C'E交于Q。求证：∠QAC＝∠PAB。20．已知△ABC中，B'、C'是外接圆上B、C的对径点，直线B'C'与过A的切线交于D，过D任作直线分别交AB、AC于E、F，联结B'E、C'F交于Q点。求证：AQ⊥BC