填空题的解题技巧

填空题的解题技巧填空题是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技能以及分析问题、解决问题的能力．它和选择题同属客观性的试题，它们有许多共同的特点：其题设短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等．根据填空时所填写的内容及形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，例如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数题目是以定量型问题出现．二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等．同时在近些年的高考中出现了定性型的具有多重选择性、条件与结论开放的填空题．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．下面是一些常用的方法．一、直接法：【理论阐释】直接法是指直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断直到直接得到准确的结果，称为直接法．它是解填空题的最基本、最常用的方法．使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的计算方法．例1、设(1)3,(1),amijbimj其中,ij为互相垂直的单位向量，又()()abab，则实数m．【解析】(2)(4),(2).abmimjabmimj∵()()abab，∴()()0abab∴222(2)[(2)(4)](2)(4)0mmimmmijmmj，而,ij为互相垂直的单位向量，故可得(2)(2)(4)0mmmm，∴2m．答案：-2典例导悟例2、已知函数21)(xaxxf在区间),2(上为增函数，则实数a的取值范围是．【解析】22121)(xaaxaxxf，由复合函数的增减性可知，221)(xaxg在),2(上为增函数，∴021a，∴21a．答案：21a例3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种（用数字作答）．【解析】三名主力队员的排法有33A种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有27A种排法，故共有排法数33A27A=252种．答案：252二、特例法：【理论阐释】当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a、b、c成等差数列，则CACAcoscos1coscos．【解析】解法一：取特殊值a＝3,b＝4,c＝5,则cosA＝,54cosC＝0,CACAcoscos1coscos45．解法二：取特殊角A＝B＝C＝600cosA＝cosC＝21,CACAcoscos1coscos45．答案：45典例导悟【解析】考虑到139aaa、、的下标成等比数列，故可令na=n满足题设条件，于是1042931aaaaaa=1613．答案：1613例2、已知等差数列{na}的公差d≠0，且139aaa、、成等比数列，则1392410aaaaaa的值是．例3、如果函数2()fxxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，那么(1),(2),(4)fff的大小关系是．【解析】由于(2)(2)ftft，故知()fx的对称轴是2x．可取特殊函数2()(2)fxx，即可求得(1)1,(2)0,(4)4fff．∴(2)(1)(4)fff．答案：(2)(1)(4)fff三、图解法：【理论阐释】这体现了数形结合的数学思想方法，对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果.例1、如果不等式xaxx)1(42的解集为A，且}20|{xxA，那么实数a的取值范围是．【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数24xxy和函数xay)1(的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是,2a．答案：,2a典例导悟例2、设函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx＋c．若当x∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x∈（1，2）时，f(x)取得极小值，则b-2a-1的取值范围是．【解析】()fx＝x2＋ax＋2b，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴f´(1)0f´(0)0f´(2)0，得a+2b+10b0a+b+20，在aob坐标系中，作出上述区域如图所示，而b-2a-1的几何意义是过两点P(a，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a，b)在区域内，由图易知kPA∈（14，1）．答案：（14，1）例3、已知实数x、y满足3)3(22yx，则1xy的最大值是．【解析】1xy可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P在圆3)3(22yx上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1xy最大，最大值为3tan．答案：3四、等价转化法：【理论阐释】根据题意对题目所要考查的知识点进行等价转化，通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果，特别注意转化的等价性是解题的关键．例1、若函数2xfxe(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m．【解析】令20tx，则tye，由于tye在(,0]上单调递增，∴0max1ye，即：m=1，又f(x)是偶函数，则其对称轴为0x，所以0，故m1答案：1典例导悟例2、不论k为何实数，直线1kxy与曲线0422222aaaxyx恒有交点，则实数a的取值范围是．【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心的距离小于半径，得到不等式1+a2-2a-4≤0解得：31a．答案：31a例3、函数xxy3214单调递减区间为．【解析】易知.0],3,41[yx∵y与y2有相同的单调区间，而313441122xxy，∴可得结果为]3,813[．答案：]3,813[五、合情猜想法（合情推理法）：【理论阐释】合理的猜想，可以从特殊图形、表格或特例中发现规律，得出一般性的正确结论，合情猜想多用于探索规律的一类题，考查学生的探究能力以及分析问题和解决问题的能力，此类问题难度一般不是很大，但思维要开放灵活．例1、将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………………………………………典例导悟【解析】写出多列，1、3、7全为1，归纳猜想可知第n次全行都是1的是第21n行，1100…0011………………………61行1010…101………………………62行1111…11………………………63行由上面几行可知第61行数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个为1，所以在第61行的62个数中有32个1答案：21n，32例2、半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则2()r＝2r①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子：②②式可以用语言叙述为：．【解析】由提供的形式找出球的两个常用的量体积、表面积函数，类似写出恰好成立，34()3VRR，2()4SRR．答案：324()43RR，球的体积函数的导数等于球的表面积函数．总之，解填空题方法要恰当，争取一步到位，答题形式要标准，避免丢三落四；同时填空题的结果书写要规范，要注意以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求．如：不能写成或写出sin30°等；②所填结果要完整，如多选型填空题，不能漏填；③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式．1224