建模 模糊数学04---模糊集中意见决策li剖析

决策是在人们生活中和工作中普遍存在的一种活动,是为解决当前或未来可能发生的问题而选择最佳方案的过程.模糊决策的目的是要把论域中的对象按优劣进行排序，或者按某种方法从论域中选择一“令人满意”的方案(评价法之一).模糊决策模糊集中意见决策为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称mijijuBuB1)()(为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是是比较合理的.例1设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B1(a)=6-1=5，B2(a)=6-4=2，B3(a)=6-1=5，B4(a)=6-2=4，B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.此方法简单易行，但有时会出现集中意见与人们的直觉不相吻合的情况，这时可以按加权波达数排序例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k)，称mijijuBuB1)()(为uj的加权Borda数。名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=4*5*0.35+0*0.04=7,B(u2)=1*5*0.35+4*4*0.25=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5练习:某单位按下列条件(现实表现、管理水平、教学水平、科研水平、荣誉奖励)对6位同志晋升高职称的条件进行评判，由于个人情况不同，名额有限，拟请8位专家对6位同志a、b、c、d、e、f进行排序，所得结果如下表，使用模糊意见集中决策，确定6位同志的先后次序.m1:badcfe;m2:befadcm3:edfcab;m4:edcfbam5:decfba;m6:cdfabem7:fdacbe;m8:dcfaeb名次一二三四五六权重1086421分排序:dfecab§4.2模糊二元对比决策实践告诉我们，人们认识事物往往是从两个事物的对比开始的.一般先对两个对象进行比较，然后再换两个进行比较,如此重复多次.每作一次比较就得到一个认识，而这种认识是模糊的，将这种认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足①rii=1(便于计算)；②0≤rij≤1；③当i≠j时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.模糊优先关系排序决策模糊二元对比决策的方法与步骤是：⑴建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隶属函数法即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.②-截矩阵法即取定阈值,确定优先对象.取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R=(rij())n×n,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.例1,评先进员工U={x1,x2,x3,x4},其模糊优先关系矩阵为17.07.08.03.016.06.03.04.0155.02.04.045.01R(1)取小法A(x1)=0.2;A(x2)=0.3;A(x3)=0.3;A(x4)=0.7,(2)平均法A(x1)=(1+0.45+0.4+0.2)/4=0.5125,A(x2)=(1+0.55+0.4+0.3)/4=0.5625A(x3)=(1+0.6+0.6+0.3)/4=0.625A(x4)=(1+0.8+0.7+0.7)/4=0.8,优先顺序：A4,A3,A2,A1例2设U={x1,x2,x3}(子女),在U上确定了一个模糊集A=“子女像父亲”，其模糊优先关系矩阵为1000100119.0R1010100118.0R1011100117.0R令从大到小依次取-截矩阵(=0.9,0.8,0.7,0.3):1111100013.0R13.08.07.011.02.09.01R当=0.3时，矩阵中首次出现第3行全为1,x3为第一优先对象，在R矩阵中划出第3行、第3列，得到模糊关系矩阵11.09.01)1(R1)(0,10,2,3/1*;1,3/2*3,1*)(xAkkxxkxxkxxkxA且为比例常数取=0.9，可得截矩阵第一行全为1，即x1为第2优先对象，因此三者模糊优先关系排序为：x3,x1,x2。下面建立模糊集合A“子女像父亲的”隶属函数可以定义为在本例中,取k=0.9,此时A的隶属函数可以表示为39.023.016.0xxxA下面介绍在有限论域上通过二元对比排序建立模糊集的隶属函数方法。事实上通过对模糊关系矩阵R进行适当的数学加工处理后，即可以得到模糊集A的隶属函数方法一：最小法nirxiAxnxnAxxAxxAAijij,...2,1,)(,)(...2)2(1)1(其中nirnxAnjiji,...,2,1,1)(1为权重其中njjijjinirxA1.,...2,1,)(方法二：平均法方法二：加权平均法练习:推荐三好学生U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},由班主任、任课教师、同学代表组成评议小组，最后得其模糊优先关系矩阵为157.06.064.046.029.022.043.0154.066.059.02.03.04.046.0169.044.037.014.036.034.031.0147.03.024.054.041.056.053.0132.028.071.08.063.07.068.012.078.07.086.076.072.08.01R根据模糊优先关系矩阵进行优先排序，并确定模糊集“三好学生”§4.3模糊综合评判决策在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.2010年竞赛题上海世博会影响力的定量评估经典综合评判决策1,评总分法2,加权评分法1,所谓评总分法,就是根据评判对象列出评价项目,对每个项目定出评价的等级,并用分数表示.将评价项目所得分数累计相加,然后按总分的大小排列次序,以决定方案的优劣.例如:我国高考成绩的评分方法.2,加权平均法主要考虑诸因素在评价中所处的地位或所起作用不尽相同,因此不能一律平等对待诸因素.于是,就引入权重的概念,它体现了诸因素在评价中的不同地位或作用.iniiSaE1为加权平均法的一般表示niiSS1总分一般表示为一模糊映射与模糊变换点集映射:设映射f：X(Y)，x|f(x)=B(Y)集合变换:T：(X)(Y)定义4.3.1称映射f:XF(Y),x|f(x)=B(Y上的模糊集)为从X到Y上的模糊映射.由定义知,模糊映射是点集映射的推广,即在映射f下,将点x变为模糊集B.例1设X={x1,x2},Y={y1,y2,y3},令.,7.03.06.0,,5.04.01.0)(.},,{11,},,{11)(232113212313112121xxyyyxxyyyxgxxyyyyxxyyyyxff(x),g(x)都是从X到Y的模糊映射,并且f(x)是从X到Y的点集映射(特殊的).命题1设X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},(1)X到Y的任一个模糊映射f可唯一确定X到Y的一个模糊关系Rf；(2)X到Y的任一个模糊关系R可唯一确定X到Y的一个模糊映射fR.模糊变换若映射T将X的一个模糊子集A映射到Y的一个模糊子集B,则称映射T为从X到Y的模糊变换.若模糊变换T满足(1)T(A∪B)=T(A)∪T(B),(2)T(A)=T(A),则称T为模糊线性变换.,1.05.03.0)(:,8.01.05.03.03214321ByyyATATxxxxA令例设X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3},在X上任取一模糊子集合B是Y上的模糊子集,因此,T是X到Y的一个模糊变换.设映射f：XY，由扩张原理知T：F(X)F(Y),(X上模糊集)A|T(A)=f(A)(Y上模糊集)f(A)(y)=∨{A(x)，f(x)=y}T^{-1}：F(Y)F(X),B|T^{-1}(B)=f^{-1}(B),X上模糊集隶属度f^{-1}(B)(x)=B(f(x))则称T是X到Y的模糊线性变换，T^{-1}是Y到X的模糊线性变换命题2设X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},(1)给定X到Y的一个模糊关系R可确定X到Y的一个模糊模糊线性变换TR(A)=A°R；11121212221212121(,,)(),:()()()(,,)()()mmnRRmnnnnmjiijirrrrrrAAaaaFXRTFXFYATAARBbbbFYrrrbar模糊线性变换其中称TR是由模糊关系R诱导的.(2)给定X到Y的一个模糊线性变换TR可确定X到Y的一个模糊关系RT,A∈F(X),由TR(A)=A°R,可得模糊矩阵R.例2设X={x1,x2,x3,x4,x5},Y={y1,y2,y3,y4},0.