高中数学抛物线 高考经典例题

1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：FKp③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。④顶点平分焦点到准线的垂线段：2pOFOK。⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。⑥焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线标准方程的四种形式：，，pxypxy2222。，pyxpyx22224新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线pxy22的图像和性质：①焦点坐标是：02，p，②准线方程是：2px。③焦半径公式：若点),(00yxP是抛物线pxy22上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02pPFx，④焦点弦长公式：过焦点弦长121222ppPQxxxxp⑤抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或2(2,2)Pptpt或Ppxyyx2),(2其中5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离k0时开口向左x2=kyk0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k0时开口向下抛物线的定义：例1：点M与点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y2=－16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．CNM1QM2KFPoM1QM2KFPoyx分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F(1，0)，则l的方程为y=x－1．由142xyxy消去y得x2－6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为A，B，则8262112121xxxxBBAA点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:(1)已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，3)求它的标准方程；(3)已知抛物线方程为y=－mx2(m0)求它的焦点坐标和准线方程；(4)求经过P(－4，－2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：ymx12，则mp12．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．答案：(1)025，F，25x．(2)x2=12y(3)mF410，，my41；(4)y2=－x或x2=－8y．例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p·2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴p=32或p=49新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴所求的抛物线方程为y2=－34x或x2=29y，前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=－89新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当焦点为（4，0）时，2p=4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，－2）时，2p=2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．证：由OA⊥OB，得12211xyxyKKOBOA，即y1y2=－x1x2，又pyx2211，pyx2222，所以：22221214pyyxx，即22221214pyyyy．而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)直线AB的斜率k=1212xxyy=pypyyy22212212=212yyp,∴直线AB的方程为y─y1=212yyp(x─py221),即y(y1+y2)─y1y2=2px,由(1)可得y=212yyp(x─2p),直线AB过定点C(2p,0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)解法1:设M(x,y),由(2)知y=212yyp(x─2p)(i),又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即212yyp·xy=─1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(ii)由(i),(ii)得x2─2px+y2=0(x0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法2:由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆立即可求出例2定长为3的线段AB的两个端点