1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768第五章第五章第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1111....试用施密特法把下列向量组正交化试用施密特法把下列向量组正交化试用施密特法把下列向量组正交化试用施密特法把下列向量组正交化::::(1)(1)(1)(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=931421111),,(321aaaaaaaaaaaa;;;;解解解解根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法,,,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==11111aaaabbbb,,,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=101],[],[1112122bbbbbbbbbbbbaaaabbbbaaaabbbb,,,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−=12131],[],[],[],[222321113133bbbbbbbbbbbbaaaabbbbbbbbbbbbbbbbaaaabbbbaaaabbbb....(2)(2)(2)(2)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=011101110111),,(321aaaaaaaaaaaa....解解解解根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法根据施密特正交化方法,,,,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==110111aaaabbbb,,,,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=123131],[],[1112122bbbbbbbbbbbbaaaabbbbaaaabbbb,,,,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−=433151],[],[],[],[222321113133bbbbbbbbbbbbaaaabbbbbbbbbbbbbbbbaaaabbbbaaaabbbb....2222....下列矩阵是不是正交阵下列矩阵是不是正交阵下列矩阵是不是正交阵下列矩阵是不是正交阵::::69(1)(1)(1)(1)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−121312112131211;;;;解解解解此矩阵的第一个行向量非单位向量此矩阵的第一个行向量非单位向量此矩阵的第一个行向量非单位向量此矩阵的第一个行向量非单位向量,,,,故不是正交阵故不是正交阵故不是正交阵故不是正交阵....(2)(2)(2)(2)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−979494949198949891....解解解解该方阵每一个行向量均是单位向量该方阵每一个行向量均是单位向量该方阵每一个行向量均是单位向量该方阵每一个行向量均是单位向量,,,,且两两正交且两两正交且两两正交且两两正交,,,,故为正交故为正交故为正交故为正交阵阵阵阵....3333....设设设设xxxx为为为为nnnn维列向量维列向量维列向量维列向量,,,,xxxxTTTTxxxx====1111,,,,令令令令HHHH====EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT,,,,证证证证明明明明HHHH是对称的正是对称的正是对称的正是对称的正交阵交阵交阵交阵....证明证明证明证明因为因为因为因为HHHHTTTT====((((EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT))))TTTT====EEEE−−−−2(2(2(2(xxxxxxxxTTTT))))TTTT====EEEE−−−−2(2(2(2(xxxxxxxxTTTT))))TTTT====EEEE−−−−2(2(2(2(xxxxTTTT))))TTTTxxxxTTTT====EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT,,,,所以所以所以所以HHHH是对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵....因为因为因为因为HHHHTTTTHHHH====HHHHHHHH====((((EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT)()()()(EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT))))====EEEE−−−−2222xxxxxxxxTTTT−−−−2222xxxxxxxxTTTT++++(2(2(2(2xxxxxxxxTTTT)(2)(2)(2)(2xxxxxxxxTTTT))))====EEEE−−−−4444xxxxxxxxTTTT++++4444xxxx((((xxxxTTTTxxxx))))xxxxTTTT====EEEE−−−−4444xxxxxxxxTTTT++++4444xxxxxxxxTTTT====EEEE,,,,所以所以所以所以HHHH是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵是正交矩阵....4444....设设设设AAAA与与与与BBBB都是都是都是都是nnnn阶正交阵阶正交阵阶正交阵阶正交阵,,,,证明证明证明证明ABABABAB也是正交阵也是正交阵也是正交阵也是正交阵....证明证明证明证明因为因为因为因为AAAA,,,,BBBB是是是是nnnn阶正交阵阶正交阵阶正交阵阶正交阵,,,,故故故故AAAA−−−−1111====AAAATTTT,,,,BBBB−−−−1111====BBBBTTTT,,,,70((((ABABABAB))))TTTT((((ABABABAB))))====BBBBTTTTAAAATTTTABABABAB====BBBB−−−−1111AAAA−−−−1111ABABABAB====EEEE,,,,故故故故ABABABAB也是正交阵也是正交阵也是正交阵也是正交阵....5555....求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量::::(1)(1)(1)(1)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−201335212;;;;解解解解3)1(201335212||+−=−−−−−−−=−λλλλλEA,,,,故故故故AAAA的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为λλλλ====−−−−1111((((三重三重三重三重))))....对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ====−−−−1111,,,,由由由由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=+000110101101325213~EA,,,,得方程得方程得方程得方程((((AAAA++++EEEE))))xxxx====0000的基础解的基础解的基础解的基础解系系系系pppp1111====(1(1(1(1,,,,1111,,,,−−−−1)1)1)1)TTTT,,,,向向向向量量量量pppp1111就是对应于特征值就是对应于特征值就是对应于特征值就是对应于特征值λλλλ====−−−−1111的特征值向量的特征值向量的特征值向量的特征值向量....(2)(2)(2)(2)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛633312321;;;;解解解解)9)(1(633312321||−+−=−−−=−λλλλλλλEA,,,,故故故故AAAA的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为λλλλ1111====0000,,,,λλλλ2222====−−−−1111,,,,λλλλ3333====9999....对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ1111====0000,,,,由由由由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000110321633312321~A,,,,得方得方得方得方程程程程AAAAxxxx====0000的基础解的基础解的基础解的基础解系系系系pppp1111====((((−−−−1111,,,,−−−−1111,,,,1)1)1)1)TTTT,,,,向向向向量量量量pppp1111是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值λλλλ1111====0000的特征值向量的特征值向量的特征值向量的特征值向量....71对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ2222====−−−−1111,,,,由由由由⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+000100322733322322~EA,,,,得方程得方程得方程得方程((((AAAA++++EEEE))))xxxx====0000的基础解的基础解的基础解的基础解系系系系pppp2222====((((−−−−1111,,,,1111,,,,0)0)0)0)TTTT,,,,向向向向量量量量pppp2222就是对应于特征值就是对应于特征值就是对应于特征值就是对应于特征值λλλλ2222====−−−−1111的特征值向量的特征值向量的特征值向量的特征值向量....对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ3333====9999,,,,由由由由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−00021101113333823289~EA,,,,得方程得方程得方程得方程((((AAAA−−−−9999EEEE))))xxxx====0000的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系pppp3333====(1(1(1(1/2/2/2/2,,,,1111/2/2/2/2,,,,1)1)1)1)TTTT,,,,向量向量向量向量pppp3333就是对应于特就是对应于特就是对应于特就是对应于特征值征值征值征值λλλλ3333====9999的特征值向量的特征值向量的特征值向量的特征值向量....(3)(3)(3)(3)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0001001001001000....解解解解22)1()1(001010010100||+−=−−−−=−λλλλλλλEA,,,,故故故故AAAA的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为λλλλ1111====λλλλ2222====−−−−1111,,,,λλλλ3333====λλλλ4444====1111....对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ1111====λλλλ2222====−−−−1111,,,,由由由由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+00000000011010011001011001101001~EA,,,,得方程得方程得方程得方程((((AAAA++++EEEE))))xxxx====0000的基础解的基础解的基础解的基础解系系系系pppp1111====((((1111,,,,0000,,,,0000,,,,−−−−1111))))TTTT,,,,pppp2222====((((0000,,,,1111,,,,−−−−1111,,,,0000))))TTTT,,,,向向向向量量量量pppp1111和和和和pppp2222是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值λλλλ1111====λλλλ2222====−−−−1111的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量....对于特征值对于特征值对于特征值对于特征值λλλλ3333====λλλλ4444====1111,,,,由由由由72⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−00000000011010011001011001101001~EA,,,,得方程得方程得方程得方程((((AAAA−−−−EEEE))))xxxx====0000的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系pppp3333====((((1111,,,,0000,,,,0000,,,,1111))))TTTT,,,,pppp4444====((((0000,,,,1111,,,,1111,,,,0000))))TTTT,,,,向量向量向量向量pppp3333和和和和pppp4444是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值是对应于特征值λλλλ3333====λλλλ4444====1111的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量的线性无关特征值向量....6666....设设设设AAAA为为为为nnnn阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵,,,