2016上海市大同杯初三数学竞赛真题及答案

牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群2433202542016上海市“大同杯”初三数学竞赛真题及答案1.计算：3119753239131239145111151915171515151315116(精确到8位小数)【解析】2.35166042.0103128531633001024.01025166106000029257.01072048571677000000910.01098192591699000000029.0101132768511161111016736401.02394000000097.0239343原式14159265.32.一个四位数除以433，商是a，余数是r(ra,都是自然数)，则ra的最大值是______.【解析】22234334329999,4320,99994331000aarra，45422432ra.3.已知点932.3,8.2,948.1,2.1,132.4,8.0CBA在二次函数cbxaxy2的图像上，则当图像上的点D的横坐标8.1x时，它的纵坐标y的值是__________.【解析】48.18.13932.38.28.22948.12.12.11132.48.08.02222mcbacbacbacba04.34.008.628.012baba24.14984.16.14.623baba24.3,5.0ba992.2932.36.434mmba牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群243320254纵坐标y的值是992.2.4.使等式15512nnn成立的正整数n的值为___________.【解析】○11n,○24,11552nnn,○331552nnnn为奇数..4,3,1,1n5.如图，已知P为圆O的弦AB上的点，,,nBPmAP且,nm当AB沿圆O运动一周时，点P的轨迹是曲线,C若圆O与曲线C之间所围成的图形面积为22nm，这里是圆周率，则nm的值为_________.【解析】设圆O半径为R，mnOPRSnmnmROP22222222.21522nmmnnm6.设x表示不超过实数x的最大整数，3631242322211211S，直至2016项，其中分母为k的一段有k2项,2,,2,1kkkk只有最后一段可能不足k2项，则S的值为_________.【解析】,221221kkkkkkkkkkk3644222122016，分母为45的项全部为0，所以，.107846543S7.若实数cba,,使得二次函数,)(2cbxaxxf当10x时，恒有1)(xf，则牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群243320254cba的最大值为___________.【解析】)0()0(3)1(214)0(2214)1(2)0(21442)1(fcfffbfffafcfcbafcba8)0(2214)1(2)0(2214)1(2ffffffa同理可得：171,8cbacb，当,121,101fff可以验证上述条件均成立.8.已知dcba,,,为四个正的常数，则当实数yx,满足122byax时，2dycx的最小值为_________.【解析】bdcxxbaddycx22，axaax1112.由二次函数知识得，当ax1时，.)(min2acdycx二、解答题9.如图，已知圆M与圆O外切于点C，圆M与圆O的半径依次为r和R，直线TPQ切圆M于点T，与圆O交于点QP、，求PQCQCP的值.【解析】如图，连接OPCTMCO、、，延长PC交圆M于F，连接MF，作两圆公切线OE，TCFTPCTECQTCETCQETEC，即CT是CPQ牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群243320254外角平分线，QTCQPQCQCPQTPQQTQTPTCQCQCPQTPTCQPC，延长QC交圆M于G，两圆外切，所以QCM、、三点共线，对顶角相等，易得：,~rRCGQCMCGOCQ由切割线定理得：RrRQCQTQCRrRQCQGQCQT2，rRRQTCQPQCQCP方法二：延长QC交圆M于G，两圆外切，所以QCM、、三点共线，对顶角相等，易得：,~rRCGQCMCGOCQ由切割线定理得：RrRQCQTQCRrRQCQGQCQT2，即QCRrRQT；同理可得：CQCPRrRQTPTPQPCRrRPT;rRRPQCQCP牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群24332025410.如图1，三个圆两两相交成7个部分，将数字1,2,2,4,4,8,8分别填入这7个部分，使得每个圆内部4个数字之积都相等(这个值记为P)，例如图2的填法满足条件，此时,64P对满足上述要求的所有填法，试求P的最大值和最小值.【解析】如图，efgaefgaabcdefgefgbcdaPaacfgabefP21222332deg当1a时，考虑3P，64222,26min18364PPefgefg如图图2填法.当8a时，同理，256222248,4488max2436PPefgefg，如图填法.11.已知正整数n，使得212122nt也是正整数，求证：t为完全平方数.【解析】显然t是4的倍数，设kt4，222311244nkknkk，11,kk，牛人数学工作室助你上名校牛人数学工作室，共和新路925号，微信13524602295，四校自招竞赛群243320254若k|3，设3mod1,213,1,,,1,32222qpqpnpqqkpk矛盾.所以，k不是3的倍数，11,kk，所以，k是平方数，即t为完全平方数.12.求使201641nnn成立的最小正整数n，其中x表示不超过实数x的最大整数.【解析】设2211212111AnnnAAnnAnnA1121nnnn2212414AnnA22120164AnA，1212015120164142222AAAAnnA，1008,1007AA.25401610160641008142nn当254016n时，2016410081nnn.所以，n的最小正整数值为254016.