第4章_第3讲_导数的综合应用

考纲要求考纲研读1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些实际问题.备考时要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活应用函数图象与性质等.第3讲导数的综合应用1．求参数的取值范围与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不等关系．2．用导数方法证不等式用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．3．平面图形面积的最值问题此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然后运用导数方法求最值．上述三类问题，在近几年的高考中都是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注重考查综合解题能力和创新意识，复习时要引起重视．4．利用导数解决生活中的优化问题优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步骤如下：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，即将优化问题归结为函数最值问题；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)检验作答，即获得优化问题的答案．A则物体在t＝3s的瞬时速度为(A．30C．45)B．40D．501．已知物体自由落体的运动方程s＝12gt2(其中g＝10m/s2)，2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图4－3－1，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A图4－3－1A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取极值，则a＝()DA．2B．3C．4D．54．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是_______.5．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_________.－16y＝3x＋1考点1求参数的范围问题例1：若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)解析：∵f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′(x)＝－x＋bx＋20在(－1，＋∞)上恒成立，即bx(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)－1.∴当b≤－1时，bx(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．即f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．答案：C【互动探究】1．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)，因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)因为当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0，所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)＝0仅有一个实根．解得a2或a52.考点2利用导数证明不等式问题例2：已知函数f(x)＝1－xax＋lnx.(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当a＝1时，求f(x)在12，2上的最大值和最小值；(3)当a＝1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn12＋13＋14＋…＋1n.解析：(1)∵f(x)＝1－xax＋lnx，∴f′(x)＝ax－1ax2(a0)．∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立．∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立．即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立．∴a≥1.(2)当a＝1时，f′(x)＝x－1x2.∴当x∈12，1时，f′(x)0，故f(x)在x∈12，1上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)0，故f(x)在x∈(1,2]上单调递增．∴f(x)在区间12，2上有唯一极小值点，故f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.又f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－ln162，∵e316，∴f12－f(2)0，即f12f(2)．∴f(x)在区间12，2上的最大值f(x)max＝f12＝1－ln2.综上可知，函数f(x)在12，2上的最大值是1－ln2，最小值是0.(3)当a＝1时，f(x)＝1－xx＋lnx，f′(x)＝x－1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n1时，令x＝nn－1，则x1，故f(x)f(1)＝0.∴fnn－1＝1－nn－1nn－1＋lnnn－1＝－1n＋lnnn－10，即lnnn－11n.∴ln2112，ln3213，ln4314，…，lnnn－11n.∴ln21＋ln32＋ln43＋…＋lnnn－112＋13＋14＋…＋1n.∴lnn12＋13＋14＋…＋1n.即对大于1的任意正整数n，都有lnn12＋13＋14＋…＋1n.本题的关键在于f(x)＝1－xx＋lnx，f′(x)＝x－1x2，故f(x)在[1，＋∞)上为增函数．当n1时，令x＝nn－1，则x1，故f(x)f(1)＝0，∴fnn－1＝1－nn－1nn－1＋lnnn－1＝－1n＋lnnn－10，即lnnn－11n.怎么想到要这么做，主要受前面两小题的强烈提示．通过本题的学习，我们要掌握此类问题一般规律．本题出错在于同学完全没有想到利用前面的结论，而直接讨论函数f(x)＝lnxx－1－1x的单调性求解，可以试试看，肯定行不通．【互动探究】2．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝lnxx.(1)求方程f(x)＝g(x)在区间1e，e内的解的个数；(2)求证：ln224＋ln334＋…＋lnnn412e.解：(1)由f(x)＝g(x)，得k＝lnxx2.令h(x)＝lnxx2，所以方程f(x)＝g(x)在区间1e，e内解的个数即为函数h(x)＝lnxx2，x∈1e，e的图象与直线y＝k交点的个数．h′(x)＝1－2lnxx3，当h′(x)＝0时，x＝e.当x在区间1e，e内变化时，h′(x)，h(x)变化如下：x1e，ee(e，e]h′(x)＋0－h(x)递增12e递减当x＝1e时，y＝－e2；当x＝e时，y＝12e；当x＝e时，y＝1e2.所以，①当k12e或k－e2时，该方程无解．②当k＝12e或－e2≤k1e2时，该方程有一个解．③当1e2≤k12e时，该方程有两个解．(2)由(1)知lnxx2≤12e，∴lnxx4≤12e·1x2.∴ln224＋ln334＋…＋lnnn4≤12e122＋132＋…＋1n2.∵122＋132＋…＋1n211·2＋12·3＋…＋1n－1·n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n1.∴ln224＋ln334＋…＋lnnn412e.考点3利用导数解决实际优化问题例3：(2011年江苏)请你设计一个包装盒，如图4－3－2所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝xcm.(1)某广告商要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.图4－3－2(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)，由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.引入恰当的变量、建立适当的模型是解题的关键．第(1)中侧面积S是关于x的二次函数，可以利用抛物线的性质求最值，也可以利用导数求解；而第(2)题中容积V是关于x的三次函数，因此只能利用导数求最值．【互动探究】3．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，为使行驶每公里的费用总和最小，)则此轮船的航行速度为(A．10公里/小时B．15公里/小时C．20公里/小时D．25公里/小时解析：船速度为x(x0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝3500，∴Q＝3500x3.∴总费用y＝3500x3＋96·1x＝3500x2＋96x，y′＝6500x－96x2.令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)时，y′0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．答案：Ｃ思想与方法8．利用数形结合思想讨论函数的图象及性质例题：(2011年“江南十校”联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，依题意f′1＝3a＋2b＋c＝0，f′－1＝3a－2b＋c＝0⇒b＝0，3a＋c＝0.又f′(0)＝－3，∴c＝－3，a＝1.∴f(x)＝x3－3x.(2)设切点为(x0，x30－3x0)，∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x20－3.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，又切线过点A(2，m)，∴m－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)．∴m＝－2x30＋6x20－6.∴m的取值范围是(－6,2)．图4－3－3令g(x)＝－2x3＋6x2－6，则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)．由g′(x)＝0得x＝0或x＝2.g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2.画出草图知(如图4－3－3)，当－6＜m＜2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，关于导数的应用，课标要求(1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单