第4章_静定结构的位移计算

第4章静定结构的位移计算一、位移的概念C'PABCθ结构上某点位置的改变称为位移，结构的位移有两大类：线位移和角位移。截面的移动称为线位移；截面的转动称为角位移。二、计算位移的目的1、校核结构的刚度，保证结构的正常使用。2、为超静定结构的内力计算打下基础。三、产生位移的主要因素（1）荷载作用；（2）温度变化和材料胀缩；（3）支座沉降和制造误差。虚功和虚功原理一、功、广义力、广义位移物理上定义：W=F·SF—集中力；S—线位移现在将此式的定义扩大：W=P式中：W—广义功；P—广义力；—与P相应的广义位移功的正负号规定：当力P与相应位移Δ方向一致时，功为正；两者方向相反时，功为负。二、虚功PLtPLt＋ΔtΔL1、定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它因素一般指温度变化、支座的移动或另外的荷载等。2、虚功的表达式：W=PΔ3、注意：（1）力P与Δ位移必须是相应的。（2）力P与位移Δ是互相独立，彼此无关的，即无因果关系。（3）虚功的正负号规定与前面相同。P1ABP2Δ1Δ2Δ3虚功：W=P1Δ2“虚”字是强调位移和做功的力无关的特点！三、变形体体系的虚功原理变形体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有外力在体系几何可能位移和变形上所作的虚功恒等于体系上所有内力所作的虚功。W外=W内即：∑PiΔi＋∑RKcK=∑∫Ndλ＋∑∫Qdη＋∑∫Mdθ单位荷载法计算位移位移状态（实际）ΔCCP力状态（虚设）如果在需求位移处沿位移方向虚设一个相应的单位力P=1，由虚功原理可得：=11×Δ=∑∫Ndλ＋∑∫Qdη＋∑∫Mdθ－∑RKcK正负号规定：当力和位移方向一致时，乘积为正，反之为负。所以，由上式求得Δ的如果是正值，说明位移Δ的方向与所设单位荷载方向一致；反之，则相反。荷载作用下的位移计算一、荷载作用下位移的计算公式Δ=∑∫NNPEAds＋∑∫kQQPGAds＋∑∫MMPEIdsN、Q、M—虚设单位荷载引起的内力NP、QP、MP—实际荷载引起的内力正负号规定：轴力N、NP—以拉力为正剪力Q、QP—以顺转为正弯矩M、MP—只规定乘积的正负号，当M、MP同侧受拉时乘积取正，反之为负。二、各类结构的位移计算公式Δ=∑∫NNPEAds＋∑∫kQQPGAds＋∑∫MMPEIds1、梁和刚架Δ=∑∫MMPEIds2、桁架Δ=∑∫NNPEAds3、组合结构=∑NNPEALΔ＋∑∫MMPEIds=∑NNPEAL（梁式杆）（链杆）三、荷载作用下位移计算的步骤1、沿需求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；2、根据静力平衡条件，列出在单位荷载作用下各杆段内力N、Q、M方程；3、列出实际荷载作用下各杆段内力方程；4、将各内力方程分别代入公式，分段积分后再求和即可计算出所求位移。图乘法一、图乘法的应用条件1、杆件为直杆；2、各杆段的EI分别等于常数；3、M、MP图中至少有一个是直线图形。二、图乘法的计算公式Δ=ΣωiyiEI式中：ω为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积；y为面积为ω的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐标，即y必须在直线图上量取。公式正负号规定：若与y在杆件的同一侧时，乘积取正值，反之，则取负值。ABABωy形心三、几种常见图形的面积和形心位置注意：在应用抛物线图形公式时，必须为标准抛物线，即顶点在中点或端点的抛物线。l32l31hl21hl32l21l21hhl83l85hl32顶点指其切线平行于底边的点，即在顶点处Q=0。l43hl41hl31顶点顶点顶点四、图乘分段和叠加1、分段（1）一个图形是曲线，另一个图形是由直线组成的折线，则应分段计算。如：ω1ω2ω3y3y1y2)(1332211yyyEI（2）杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段，分段进行图乘。如：EI1EI2EI1EI2ω1ω1y1y222211111yEIyEI2、叠加在图形的面积的计算或形心位置的确定比较复杂时，可将复杂图形分解为计算简单的图形，叠加计算。（1）两个图形都是梯形abcdω1ω2y1y2)(12211yyEI（2）当弯矩图为非标准抛物线时，要将图形分解成两个简单图形分别计算，再叠加。例如：qL2/8ABMBAMABABMBAMAB＋ABqL2/8AB例1：试用图乘法计算如图所示简支梁跨中截面C的竖向位移ΔC和B端的角位移θB。EI为常数。ABCqL/2L/2解：1、计算ΔCABCqL2/8MP图CABM图P=1L/4ω1EI1=2×(23L218qL2×××58L4×)=5qL4384EI2、计算θBABM图m=11EI1θB=(2318qL2×××12)L=qL324EIiiCyEI1y1y2例2：计算图示悬臂刚架在C点作用荷载时，梁中点D的挠度。EI为常数PLABCLDP=1ABCD解：1、在D点设单位竖向力2、作Mp图和M图PLPLPLPABCMP图2l2l2lM图3、图乘法计算ω2ω1y2y18222121lllPly6512222lllPly2iiDyEI1322482926581PlEIPllPllEI例2：求图示刚架C截面的竖向位移ΔC。EI为常数10kN/mABC6m6m20kN30045300ABCMP图（kNm)ABCM图（m)P=166解：作MP图和M图EI1=(300×6)×612×300×6)×4[(4323×45×6)×3]－(＋EI1EI13860kNm3=6iiCyEI1例：求图示三铰刚架在铰C左、右两截面的相对转角，EI为常数。qABCDEa/2a/2a/2MP图qa4qa4qa2qa2qa28qa281ω2ω1解：由于对称，只需计算刚架的一半，然后乘2倍。因为QC=0，所以DC段为标准抛物线。=EI2[ω1y1＋ω2y2]=EI2[212aqa2832＋312aqa281]=qa312EI11M图（）iiyEI1补充作业：1、计算图示梁C端的的转角，EI为常数。ABC3kN/m4m2kN1m参考答案：2、求图示刚架D点的垂直位移，EI为常数。ABCL3L/2L/2PEIEI2EID参考答案：)(163EIPlDEIC313()