数学史上的三大数学危机

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1朱业成2历史上,数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以,危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机,都是数学的根基受到质疑。实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展。31.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年)是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。一、与第一次数学危机2毕达哥拉斯(公元前570年~公元前500年)4毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织,也致力于哲学与数学的研究,促进了数学和理性哲学的发展,并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。相传“哲学”(希腊原词意为“智力爱好”)和“数学”(希腊原词意为“可学到的知识”)这两个词是毕达哥拉斯本人所创。52.“万物皆数”学说①数,是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”,是指自然数,即正整数,同时还包含它们的比,即正分数。②任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”,意即有公共的度量单位t。nmadtamtdnt6实例①形数(表示图形所用点的个数)7(1)122nnn213(21)nn(32)14(32)2nnn215(43)2nnn三边形数四边形数五边形数六边形数361015491625512223561528458②产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦,若其长度成小整数比,就会发出谐音。例如,1︰2时短弦的音高8度,2︰3时短弦音高5度,3︰4时短弦音高4度;当三根弦的长度之比为3︰4︰6时,就得到谐音。9③同名正多边形覆盖平面只有三种情况:环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形,或者4个正方形,或者3个正六边形,如图:10毕达哥拉斯学派确信:“宇宙的和谐在于数”,神是以数的规律创造世界的。“万物皆数”学说产生了很大的影响。113.的发现和危机的产生2C11根据毕达哥拉斯定理,边长为1的正方形,其对角线长度若记为,则,推出222112cc22c1)一个不能表成整数比的数但不能表成整数比。c142)不可公度的线段设正方形的边长为,对角线长为,如图:adaad由1)知,与就是不可公度线段。ad153)危机产生,封锁消息希帕索斯泄露秘密,被抛进大海。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的希帕索斯(Hippasus)161)无理数像这样的数,和其它一些不能表成整数比的数,称为无理数。22cc4.无理数与数系的扩张——危机的解决172)数轴①古代观点:数轴↔有理数②现代观点:数轴↔实数210183)数系的扩张——危机的解决数系扩张为实数系以后,第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后,“万物皆数”的命题就是正确的了;不能表成整数比的数,即无理数,也是实数系中的数了。19二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。201.危机的引发1)牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。21例如,设自由落体在时间下落的距离为,有公式,其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度,先求。∴(*)t)(tS221)(gttSg0ttS22101022200011()()2211[()][2()]22SStStgtgtgtttgttt01()2Sgtgtt22当变成无穷小时,右端的也变成无穷小,因而上式右端就可以认为是,这就是物体在时的瞬时速度,它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭到责难。t)(21tg0gt0t232)贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道:“无穷小”作为一个量,究竟是不是0?01()2Sgtgtt如果是0,上式左端当成无穷小后分母为0,就没有意义了。如果不是0,上式右端的就不能任意去掉。t1()2gt(*)24贝克莱还讽刺挖苦说:即然和都变成“无穷小”了,而无穷小作为一个量,既不是0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的,但是,贝克莱的质问是击中要害的。St253)实践是检验真理的唯一标准应当承认,贝克莱的责难是有道理的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它,只是由于它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。”262.危机的实质第二次数学危机的实质是什么?应该说,是极限的概念不清楚,极限的理论基础不牢固。也就是说,微积分理论缺乏逻辑基础。273.危机的解决(严格的极限理论的建立)①在18世纪时,人们已经建立了极限理论,但那是初步的、粗糙的。②19世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析,他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。28③做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是法国数学家柯西(A.L.Cauchy,1789—1857)。他在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义,然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性,至此,才较好地反驳了贝克莱的责难。④后来,魏尔斯特拉斯创立“”语言,才彻底地反驳了贝克莱的责难。29总之,第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于,将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于,逻辑地构造了实数系,建立了严格的实数理论,使之成为极限理论的基础。所以,建立数学分析(或者说微积分)基础的“逻辑顺序”是:实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反。30三、第三次数学危机1.“数学基础”的曙光——集合论到19世纪,数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善;实数理论(和极限理论)的出现使微积分有了牢靠的基础;群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰,等等。人们水到渠成地思索:整个数学的基础在哪里?正在这时,19世纪末,集合论出现了。人们感觉到,集合论有可能成为整个数学的基础。31其理由是:算术以整数、分数等为对象,微积分以变数、函数为对象,几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时,用集合论的语言,算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”;微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合”;几何的对象可说成是“以点、线、面等组成的集合”。这样一来,都是以集合为对象了。于是,集合论似乎给数学家带来了曙光:可能会一劳永逸地摆脱“数学基础”的危机。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称:“现在我们可以说,完全的严格性已经达到了!”322.罗素的“集合论悖论”引发危机1)悖论引起震憾和危机正当庞加莱宣布“完全严格的数学已经建立起来!”之后刚刚两年,即1902年,罗素的集合论悖论出来了。伯特兰·罗素(1872-1970)Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)332)罗素悖论在叙述罗素悖论之前,我们先注意到下边的事实:一个集合或者是它本身的成员(元素),或者不是它本身的成员(元素),两者必居其一。罗素把前者称为“异常集合”,把后者称为“正常集合”。34例如,所有抽象概念的集合,本身还是抽象概念。即,它是这一集合本身的元素,所以是“异常集合”。但是,所有人的集合,不是人,即,它不是这一集合本身的元素,所以是“正常集合”。再例如,所有集合的集合,本身还是集合,即,它是这一集合本身的元素,所以是“异常集合”。但是,所有星星的集合不是星星,即,它不是这一集合本身的元素,所以是“正常集合”。35罗素悖论是:以表示“是其本身成员的所有集合的集合”(所有异常集合的集合),而以表示“不是它本身成员的所有集合的集合”(所有正常集合的集合),于是任一集合或者属于,或者属于,两者必居其一,且只居其一。然后问:集合是否是它本身的成员?(集合是否是异常集合?)MMNNNN36如果是它本身的成员,则按及的定义,是的成员,而不是的成员,即不是它本身的成员,这与假设矛盾。即如果不是它本身的成员,则按及的定义,是的成员,而不是的成员,即是它本身的成员,这又与假设矛盾。即悖论在于:无论哪一种情况,都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM37罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”:某村的一个理发师宣称,他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问:理发师是否给自己刮脸?如果他给自己刮脸,他就属于自己给自己刮脸的人,按宣称的原则,理发师不应该给他自己刮脸,这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸,他就属于自己不给自己刮脸的,按宣称的原则,理发师应该给他自己刮脸,这又与假设矛盾。383.危机的消除危机出现以后,包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种,一种是抛弃集合论,再寻找新的理论基础,另一种是分析悖论产生的原因,改造集合论,探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路,希望在消除悖论的同时,尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。39这种选择的理由是,原有的集合论虽然简明,但并不是建立在明晰的公理基础之上的,这就留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为,这些悖论的共同特征(悖论的实质)是“自我指谓”。即,一个待定义的概念,用了包含该概念在内的一些概念来定义,造成恶性循环。例如,悖论中定义“不属于自身的集合”时,涉及到“自身”这个待定义的对象。40为了消除悖论,数学家们将“朴素的集合论”加以公理化;并且规定构造集合的原则,例如,不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。1908年,策梅洛(E.F.F.Zermelo,1871—1953)提出了由7条公理组成的集合论体系,称为Z-系统。1922年,弗兰克(A.A.Fraenkel)又加进一条公理,还把公理用符号逻辑表示出来,形成了集合论的ZF-系统。再后来,还有改进的ZFC-系统。这样,大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程,悖论消除了。41但是,新的系统的相容性尚未证明。因此,庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久,形象地评论道:“为了防狼,羊群已经用篱笆圈起来了,但却不知道圈内有没有狼”。这就是说,第三次数学危机的解决,并不是完全令人满意的。42四、三次数学危机与“无穷”的联系三次数学危机都与无穷有关,也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数,而无理数是无限不循环小数,它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。43第二次数学危机的要害,是极限理论的逻辑基础不完善,而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难,也集中在“无穷小量”上。第三次数学危机的要害,是“所有不属于自身的集合”这样界定集合的说法有毛病。而且这里可能涉及到无穷多个集合,人们犯了“自我指谓”、恶性循环的错误。44以上事实告诉我们,由于人们习惯于有穷,习惯于有穷情况下的思维,所以一旦遇到无穷时,要格外地小心。ThankYou!

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