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2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．2．设f（x）=xex的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．eB．e+1C．2eD．e+23．已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．5．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+47．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．408．已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）9．若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个10．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9xB．y2=6xC．y2=3xD．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．312．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线ax﹣by﹣2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则为．14．若函数f（x）=x3+x2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是．15．已知点F是椭圆的右焦点，点B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为．16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=（3﹣2a）x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a2+c2=7，三角形ABC的面积为1，求b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），且在x=﹣2取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上单调递增，求m的取值范围．19．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．20．已知函数f（x）=x2﹣lnx．（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调递减区间：（3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e为自然对数的底数）21．如图，已知椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右顶点为A，B，离心率为，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=﹣分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A为线段MS的中点，求△SAB的面积；（3）求线段MN长度的最小值．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0D．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0，则¬p为：．故选：B．2．设f（x）=xex的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．eB．e+1C．2eD．e+2【考点】导数的运算．【分析】求出导函数，再x=1代入导函数计算．【解答】解：f′（x）=ex+xex，f′（1）=e+e=2e．故选：C．3．已知条件p：x2﹣3x+2＜0；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，即可判断出结论．【解答】解：条件p：x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2；条件q：|x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．则p是q成立的充分不必要条件．故选：A．4．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．5．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选A．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．7．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆内过点（﹣3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心O（3，4），半径r==5，点（3，5）在圆内，最长弦AC为圆的直径．设AC与BD的交点为M（3，5），BD为最短弦，AC与BD相垂直，垂足为M，所以OM=d=1，BD=2BM=2=4，由此能求出四边形ABCD的面积．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心O（3，4），半径r==5，点（3，5）和（3，4）两点间的距离d==1＜5，∴点（3，5）在圆内，∴最长弦AC为圆的直径．设AC与BD的交点为M（3，5），∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，垂足为M，所以OM=d=1，∴BD=2BM=2=4，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=×BD×MA+×BD×MC=×BD×（MA+MC）=×BD×AC∴S四边形ABCD=×4×10=20．故选：B．8．已知f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（1，3）C．（﹣∞，3）D．[3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出f′（x），由题意可得当x≥1时，f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2．3x2在[1，+∞）上的最小值等于3，由此求得a的取值范围．【解答】解：∵a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a．由题意可得当x≥1时，f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2．而3x2在[1，+∞）上的最小值等于3，故有a≤3．故选A．9．若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A．0个B．至多有一个C．1个D．2个【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P（m，n）在椭圆内，进而可得结论．【解答】解：由题意可得：＞2，即m2+n2＜4，∴点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D．10．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9xB．y2=6xC．y2=3xD．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选C．11．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1③直线AH和BB1所成角为45°；④AH的延长线经过点C1其中假命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先，判断三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，然后，得到△BA1D为正三角形，得到H为A在平面A1BD内的射影，然后，根据平面A1BD与平面B1CD1平行，得到②正确，最后，结合线面角和对称性求解．【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心，故①正确；∵平面A1BD与平面B1CD1平行，AH⊥平面A1BD，∴AH垂直平面CB1D1，∴②正确；∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，A1H==，∴sin∠A1AH=，∴③错误，根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴④正确；故选：B．12．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、a、d为常数）的极大值为f（x1）、极小值为f（x2），且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围是（）A．B．C．D．（5，25）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导f′（x）=3x2+2bx+c，从而可得x1、x2是方程3x