2015-2016学年广东省深圳市翠园中学高二(下)期中数学试卷(文科)

第1页（共22页）2015-2016学年广东省深圳市翠园中学高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A．{3}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{2，3，4，5}2．（5分）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1B．C．D．23．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（5分）下列函数中，可以是奇函数的为（）A．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈RB．f（x）=x2+ax+1，a∈RC．f（x）=log2（ax﹣1），a∈RD．f（x）=ax+cosx，a∈R5．（5分）设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥αB．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥bD．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5分）设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a37+b37第2页（共22页）等于（）A．0B．37C．100D．﹣378．（5分）从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=对称10．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A．2B．3C．4D．512．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣7）]=（）第3页（共22页）A．3B．﹣3C．2D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）复数等于．14．（5分）一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为．15．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4）到直线l：x+my﹣1=0的距离相等，则m的值为．16．（5分）以直角坐标系的原点为极点，x非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=cos2x+sinx（1）求f（）的值；（2）求f（x）在[﹣，]上的最值．18．（12分）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．如图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图．已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消第4页（共22页）费群”与性别有关？高消费群非高消费群合计男女1050合计（参考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=AD=2，DE=1．（1）求证：BC∥EF；（2）求三棱锥B﹣ADE的体积．20．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）（k≠0）相交于A、B两点，O是坐标原点．（1）当k=时，求|AB|的长；（2）求证无论k为何值都有OA⊥OB．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x（1）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值；（2）若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三个相异的实数根，求a的取值范围．22．（10分）如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点，PA交圆O于点F，连接PE．（Ⅰ）求证：PE是圆O的切线；（Ⅱ）设AO=3，PB=4，求PF的长．第5页（共22页）第6页（共22页）2015-2016学年广东省深圳市翠园中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．（5分）（2016•汕头模拟）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁UA）∪B=（）A．{3}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{2，3，4，5}【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，∴∁UA={3，4，5}，∵B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4，5}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•西安一模）已知两个单位向量的夹角为45°，且满足⊥（λ﹣），则实数λ的值为（）A．1B．C．D．2【分析】运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【解答】解：由单位向量的夹角为45°，则•=1×1×cos45°=，由⊥（λ﹣），第7页（共22页）可得，•（λ﹣）=0，即λ﹣=0，则﹣1=0，解得λ=．故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）（2015•锦州二模）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，zmax=2，故选：D．第8页（共22页）【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．4．（5分）（2015•佛山一模）下列函数中，可以是奇函数的为（）A．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈RB．f（x）=x2+ax+1，a∈RC．f（x）=log2（ax﹣1），a∈RD．f（x）=ax+cosx，a∈R【分析】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）+f（x）=0，观察方程是不是对定义域内的任意的x都成立，即可判断为奇函数的函数．【解答】解：对于A．f（﹣x）=（﹣x﹣a）|﹣x|=（﹣x﹣a）|x|，若f（﹣x）+f（x）=（﹣2a）|x|=0，则a=0，则A满足；对于B．f（﹣x）=（﹣x）2﹣ax+1，若f（﹣x）+f（x）=2x2+2=0，则方程无解，则B不满足；对于C．由ax﹣1＞0，不管a取何值，定义域均不关于原点对称，则C不满足；对于D．f（﹣x）=﹣ax+cos（﹣x）=﹣ax+cosx，若f（﹣x）+f（x）=2cosx=0，则不满足x为一切实数，则D不满足．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．5．（5分）（2014秋•莆田校级期末）设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥αB．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥bD．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α【分析】A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：b⊥α也有可能b⊆α【解答】证明：A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α，正确B：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确C：若α∥β，且a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确D：若a⊥b，且a∥α，则b⊥α也有可能b⊆α，错误第9页（共22页）故选D【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．6．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2016春•深圳校级期中）设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，第10页（共22页）b1=75，a2+b2=100，则a37+b37等于（）A．0B．37C．100D．﹣37【分析】由题意可判数列{an+bn}也是等差数列，且为常数列，可得答案．【解答】解：∵数列{an}、{bn}都是等差数列，∴数列{an+bn}也是等差数列，∵a1+b1=25+75=100，a2+b2=100，∴数列{an+bn}的公差为0，数列为常数列，∴a37+b37=100故选：C．【点评】本题考查等差数列，得出数列{an+bn}也是等差数列是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）（2016•汕头模拟）从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．【分析】从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，由此能求出这个两位数大于30的概率．【解答】解：从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n==6，则这个两位数大于30包含的基本事件个数m=2，∴这个两位数大于30的概率为P==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（5分）（2016•汕头模拟）已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）第11页（共22页）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=对称【分析】由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，它的最小正周期为=π，且函数f（x）为偶函数，故A、B正确；在区间[0，]上，2x∈[0，π]，故函数f（x）在区间[0，]上是减函数；当x=时，f（x）=0，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．10．（5分）（2012•大纲版）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当