28.1锐角三角函数(第2,3课时)教程

探究如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边b对边a斜边c当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cbAA斜边的邻边cos把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即baAAA的邻边的对边tan锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．情境探究思考:如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？正弦=ac斜边的对边AsinA=当直角三角形的锐角A的度数确定时，其邻边与斜边比也是唯一确定的吗？探究一在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个定值。A’C’ACA’B’AB＝所以ABACA’B’A’C’＝即ABACA’B’A’C’与问：相等吗？任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′使得∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a因为∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′当直角三角形的锐角A的度数确定时，其对边与邻边比也是唯一确定的吗？探究二在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个定值。B’C’BCA’C’AC＝所以ACBCA’C’B’C’＝即任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′使得∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a因为∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′问：相等吗？当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比是一个定值,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cbAA斜边的邻边cos当锐角A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比也是一个定值,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA,即baAAA的邻边的对边tan=ac斜边的对边AsinA=如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°=bc斜边的邻边AcosA==ab的邻边的对边AAtanA=想一想:1、sinA、cosA、tanA是在那种三角形中定义的，∠A是什么角?2、sinA、cosA、tanA有没有单位?3、sinA、cosA、tanA的大小与直角三角形的边长有没有关系?它们的大小只与什么有关呢?正弦余弦正切对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。归纳总结:下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。试一试：ABCD(1)tanA==AC()CD()(2)tanB==BC()CD()BCADBDAC例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，求sinA,cosA、tanA的值．53106sinABBCA因此86102222BCABAC,54108cosABACA4386tanACBCAABC6例题示范10解：由勾股定理得：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．练习解：由勾股定理222213125BCABACABC13125sin13BCAAB12cos13ACAAB5tan12BCAAC12sin13ACBAB5cos13BCBAB12tan5ACBBC2.在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？ABC解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为sincostanabaAAAccb，，则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c2sin2aaAcc2cos2bbAcc2tan2aaAbbABC3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．43ABC8解：3tan4BCAAC8AC338644BCAC63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB同角三角函数关系互为余角的三角函数之间的关系AAAcossintan1cossin22AAsinA,Acos(90cosA,A90sin(）＝－）＝－补充:所以对于任何一个锐角α，有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0，ABC如图，Rt△ABC中，∠C=90度，sin,cos,tanBCACBCAAAABABACsin,cos,tanACBCACBBBABABBC因为0＜sinA＜1,0＜sinB＜1,0＜cosA＜1,0＜cosB＜1,tanA＞0,tanB＞0sincoscossin1tantanABABAB探究:互为余角的两个锐角的三角函数之间的关系在Rt△ABC中小结sinAAac的对边斜边cosAAbc的邻边斜边tanAAAab的对边的邻边定义作业本作业：课本68页1,2题两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦、余弦和正切值．30°60°45°45°问题探究设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长＝2223aaa1sin30,22aa33cos30,22aa3tan3033aa问题探究a3a2a30°sin60cos60tan6060°a3a2a3322aa122aa33aa问题探究设两条直角边长为a，则斜边长＝222aaacos45tan45sin4545°222aa222aa1aaa2a问题探究30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331例3求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°解：cos260°＋sin260°222321＝1应用举例例3求下列各式的值：cos45(2)tan45sin4512222＝0应用举例解：cos45tan45sin45例4(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=,BC=，求∠A的度数.6363CAB32sin26BCAAB解：2sin452且°45A∠°应用举例(2)如图,已知AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO=OB,求α的度数.3OBA3tan3AOOBOBOB解：tan603且°60°应用举例1.求下列各式的值：（1）1－2sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）30tan160sin160cos312231巩固训练22.在Rt△ABC中,∠C＝90°,求∠A、∠B的度数．21,7ACBCBAC721解：73tan321BCAAC∴A=30°∠B=90°－∠A=90°－30°=60°3tan303且°巩固训练30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于cosα，角度越大，函数值越小。课堂小结作业本作业：68页3题