第6讲DEA模型

第六讲多目标决策之:数据包络分析(DEA)分析一、多目标决策问题实例•干部评估－德、才兼备•教师晋升－教学数量、质量、科研成果•购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等•球员选择－技术、体能、经验、心理•找对象－容貌、学历、气质、家庭状况多目标决策的基本概念•二、多目标决策问题特点–决策目标多于一个–目标间存在不可公度性，即各个目标间没有统一的衡量标准，如大型水电开发方案决策问题中发电目标是多少度或多少电费，而环境改善目标无法折算成货币标准–目标间的矛盾性，某个目标的改进必然导致另外某些目标的劣化。三、多目标决策与单目标决策区别•点评价与向量评价单目标：方案dj←评价值f(dj)多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))•决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。四、多目标决策问题的分类•多属性决策问题（MultiAttributedecisionmakingproblem)：决策变量是离散的，决策方案的数量是有限的，因此有时也称为有限方案多目标决策问题。•多目标决策问题（Mulitiobjectivedecisionmakingproblem)：决策变量是连续的，决策方案为无限多，因此，有时也称为无限多方案多目标决策问题•多准则决策问题（Multicriteriondecisionmakingproblem),通常指多目标和多属性决策。•国内用的比较混乱。国外一般用多准则决策.多目标决策相关术语•属性：备选方案的特征、品质、性能参数•目标：决策希望达到目的的标准•准则：判断事务的标准，兼指属性和目标多目标决策解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：•绝对最优解•劣解•有效解(pereto解)•弱有效解（weakefficientsolution）多目标问题的解0)(0)(..))(),....,(),(()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp),....,,(21nxxxX为决策变量如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X)层次分析法（AHP）数据包络分析（DEA)主成分分析法(PCA)目标规划方法TOPSIS方法或理想点法多目标规划法模糊决策法五、常用多目标决策方法一、DEA方法介绍数据包络分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，以相对效率概念为基础提出来的一种效率评价方法。该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU：,DecisionMakingUnits）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称C2R模型。该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。•DEA是应用数学规划模型来评价具有多个输入和多个输出的“部门”或“单位”的相对有效性的。根据各DMU的观察数据判断其是否有效，本质上是判断DMU是否位于生产可能集的“前沿面”上。•应用DEA方法和模型可以确定生产前沿面的结构，因此又可以将DEA看作是一种非参数的统计估计方法。特别当DEA被用来研究多输入、多输出的生产函数理论时，由于不需要预先估计参数，因而在避免主观因素和简化算法、减少误差等方面有着巨大的优越性。数据包络分析(即DEA)也可以看作是一种统计分析的新方法，它是根据一组关于输入－输出的观察值来估计有效生产前沿面的。在有效性的评价方面，除了DEA方法以外，还有其它的一些方法，但是那些方法几乎仅限于单输出的情况。相比之下，DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。并且，DEA方法不仅可以用线性规划来判断决策单元对应的点是否位于有效生产前沿面上，同时又可获得许多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用统计的方法）优越，用处也更广泛。•DEA也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可以用来进行政策评价．•特别值得指出的是，DEA方法是纯技术性的，与市场（价格）可以无关。只需要区分投入与产出，不需要对指标进行无量纲化处理，可以直接进行技术效率与规模效率的分析而无须再定义一个特殊的函数形式，而且对样本数量的要求不高，这是别的方法所无法比拟的。•近30年来，已经有数以千计关于DEA的研究论文、工作报告和博士论文等发表。某些运筹学或经济学的重要刊物，如：AnnalsofOperationalResearch（1985），EuropeanJournalofOperationalResearch（1992），JournalofProductivityAnalysis（1992），JournalofEconometic（1990）以及ComputersandOperationsResearch等都出版了DEA研究的特刊。在国外，DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事等方面效率的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显示出巨大的优越性。在国内，经济和管理领域的许多方面，DEA方法都得到了重要的应用。DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。DEA方法的特点：（1）适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势；（2）DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）。（3）无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性（4）DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式二、DEA基本原理和模型一、DEA模型概述对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。•指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。•DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。•为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子。例：某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表:企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分别为产出与投入的权重系数。我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比即:vvvuuh32121181541260类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213我们限定所有的hj值不超过1，即，这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。1maxhj即因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh设vvvt32181541vtwutiiii,则此分式规划可化为如下的线性规划1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260.t.s1260hmax321321213212132121211其对偶问题为：128612602422608428155415427154.t.sVmin321321321321321Dvvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h321211总结：设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j个企业投入的综合值为，产出的综合值为其生产效率定义为:于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。xvij31iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj≤1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下：3,2,1i,0,2,1r,03,2,1j,1.t.sHmaxvuhhirj3输入型与输出型的DEA模型•Input-DEA模型：基于投入的技术效率，即在一定产出下，以最小投入与实际投入之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输入的减少，即求θ的最小。•Output-DEA模型：基于产出的技术效率，即在一定的投入组合下，以实际产出与最大产出之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输出的增大，即求z的最大。定义：123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmny11y12y13…y1j…y1n1u1y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…