第6讲简单的三角恒等变换

第1页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）第6讲简单的三角恒等变换第2页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).第4页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）1个必记口诀三角变换重差异，角的变换是主体，遇切化弦是常理，见到高次要降幂，化一公式是难题，注意角间的关系．2个重要规律1.化简原则：一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．2.化简要求：种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，尽量无分母，尽量求出值，尽量无根号．第5页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）3种必会题型1.三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．2.三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．3.三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可.第6页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）课前自主导学第7页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）1.半角公式(不要求记忆)(1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝________；cos2α2＝________；tan2α2＝________.第8页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝________；cosα2＝________；tanα2＝________.第9页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(3)用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝sinα1＋cosα＝________.(4)sinα＝2tanα21＋tan2α2；cosα＝1－tan2α21＋tan2α2；tanα＝2tanα21－tan2α2.第10页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(1)已知tanα2＝2，则sinα＝________；cosα＝________；tanα＝________.(2)已知sinα＝－817，且πα32π，则sinα2＝________；cosα2＝________；tanα2＝________.第11页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）2．常用公式的变化形式(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．(2)sin2α＝________，cos2α＝________.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中cosφ＝________，sinφ＝________即tanφ＝ba)．第12页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(1)下列各式中，值为12的是________．①sin15°cos15°；②2cos2π12－1；③1－cos30°2；④tan22.5°1－tan222.5°.(2)下列式子化成a2＋b2sin(x＋φ)的形式，则sinα－3cosα＝________.第13页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）1.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα1－cosαsinα第14页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）填一填：(1)45－35－43(2)41717－1717－4提示：∵sinα＝－817，πα32π，∴cosα＝－1517，又π2α234π，∴sinα2＝1－cosα2＝41717；cosα2＝－1＋cosα2＝－1717；tanα2＝sinα2cosα2＝－4.第15页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）2.1－cos2α21＋cos2α2aa2＋b2ba2＋b2填一填：(1)④(2)2sin(α－π3)第16页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）核心要点研究第17页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）例1[2013·桂林模拟]已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．第18页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）[审题视点](1)把α变为2·α2，利用倍角公式求解．(2)把β变为(β－α)＋α，利用两角和的公式求解．[解](1)∵tanα2＝12，∴sinα＝sin(2·α2)＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2×121＋122＝45.第19页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35.又0απ2βπ，∴0β－απ.由cos(β－α)＝210，得0β－απ2.∴sin(β－α)＝9810＝7210，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]第20页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2βπ得β＝34π.第21页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．第22页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）[变式探究][2013·运城调研]已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α32π，求cos(2α＋π4)的值．解：cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2α·sinπ4＝22(cos2α－sin2α)，∵π2≤α32π，∴34π≤α＋π474π.又cos(α＋π4)＝350，故32πα＋π474π，第23页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）∴sin(α＋π4)＝－45，∴cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725，∴cos(2α＋π4)＝22×(－2425－725)＝－31250.第24页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）例2[2013·唐山月考]已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.[审题视点]分析角的差异进行变角：2α＋β＝(α＋β)＋α；β＝(α＋β)－α.第25页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）[证明]∵sin(2α＋β)＝2sinβ，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα，∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα，∴tan(α＋β)＝3tanα.第26页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）奇思妙想：本例变为“已知sin2θ＝2sin2，求tanθ＋1tanθ－1的值”，该如何解答？解：sin2θ＝sin[(θ＋1)＋(θ－1)]＝sin(θ＋1)cos(θ－1)＋cos(θ＋1)sin(θ－1)，2sin2＝2sin[(θ＋1)－(θ－1)]＝2sin(θ＋1)cos(θ－1)－2cos(θ＋1)sin(θ－1)，∵sin2θ＝2sin2，∴sin(θ＋1)cos(θ－1)＝3cos(θ＋1)sin(θ－1)，∴sinθ＋1cosθ－1cosθ＋1sinθ－1＝3，即tanθ＋1tanθ－1＝3.第27页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(1)证明恒等式的方法：①从左到右；②从右到左；③把两边化到同一式子.原则上是化繁为简，必要时也可用分析法．(2)三角恒等式证明的切入点：①看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化；②看函数：统一函数，向结果中的函数转化．第28页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）[变式探究]证明：(1)2sin(π4－x)·sin(π4＋x)＝cos2x.(2)1－2sinα·cosαcos2α－sin2α＝1－tanα1＋tanα.证明：(1)左边＝2sin(π4－x)sin[π2－(π4－x)]＝2sin(π4－x)cos(π4－x)＝sin2(π4－x)＝cos2x＝右边，等式成立．第29页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）(2)左边＝cosα－sinα2cosα－sinαcosα＋sinα＝cosα－sinαcosα＋sinα，右边＝1－sinαcosα1＋sinαcosα＝cosα－sinαcosα＋sinα，左边＝右边．原式得证.第30页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）例3[2012·湖北高考]设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)的值域．第31页第三章第6讲核心要点研究经典演练提能课课精彩无限限时规范特训课前自主导学金版教程·高三数学（文）[解](1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一