西安交大2013-2016概率论试题(含答案)

共4页第1页成绩西安交通大学考试题(A)课程概率论与数理统计学院考试日期2014年6月22日专业班号姓名学号期末一、解答题（每小题5分，共35分）1.设事件,AB相互独立，CA,互斥，且31)(AP，21)(BP，41)(CP，求)|(CABP。2.同时抛掷3枚均匀硬币，试求恰好有两枚正面向上的概率。3.设随机变量X的概率密度为)11()(2xaxxf，（1）确定a的值；（2）求2XY的概率密度。4.设随机变量),(~2NX，已知5.0}70{XP，25.0}60{XP，求与的值。（75.0)68.0(）5.设),2,0(~UXY的概率密度为))]((/[)(yyyfY211，且相互独立，求YXZ的概率密度。6.设)2.0(~ExpX，)1.0,100(~BY,5.0XY，求)532(YXD.7.设),,,,(54321XXXXX是来自总体X～)1,0(N的简单随机样本，问25423212131)()(XXXXXY服从什么分布？二（8分）袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？三（12分）设(,)XY的联合概率密度为其他,0,10),1(6),(yxyyxf（1）求边缘密度()Xfx和()Yfy；（2）判断X与Y是否独立？（3）求}1{YXP.共4页第2页四（10分）设a为区间)1,0(上的一个定点，随机变量X服从区间)1,0(上的均匀分布，以Y表示点X到a的距离，问a何值时X与Y不相关。.五（10分）某厂每月生产的10000台液晶投影机，但它的液晶片生产车间生产液晶片的合格品率为%80，为了以%7.99可能性保证出厂的投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少该生产多少液晶片？(997.0)75.2().六（10分）设总体X的概率密度为)10();(1xxxf，0是未知参数，设12(,,...,)nXXX是来自于X的一组样本，试求：（1）参数的矩法估计量；（2）参数的极大似然估计量共4页第3页七、（12分）为比较甲、乙两种型号的计算器充电后所能使用的时间（单位：h），现从两种型号中分别抽取11及12只，测得样本观测值分别为型号甲：74.2)(5.52111xxxii，，型号乙：41.2)(37.42121yyyii，假设两组样本相互独立,所能使用的时间服从正态分布),(211N和),(222N,（1）两种计算器充电后所能使用的时间的方差是否有明显差异(01.0)?（2）两种计算器充电后的平均使用时间是否相等（01.0）？（3）求21的置信度为%95的置信区间上界。（42.5)11.10(005.0F，78.4)10.11(005.0F，8314.2)21(005.0t，940.3)10(295.0）八（3分）设ˆ是参数的无偏估计，且有0)ˆ(D，证明：2ˆ不是2的无偏估计。共4页第4页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)课程名称：概率论与数理统计课时：50考试时间：2014年6月22日一．1.,/)//()//())(/())()(()(/)()|(924321311CPABCPABPCPCABPCABP(5分)2.设iA表示事件第i枚硬币正面朝上，则所求概率为.8/3)()()(}{321321321AAAPAAAPAAAPP上恰好有两枚硬币正面朝(5分)另解：设X表示正面朝上的次数，则)5.0,3(~BX，所求概率为.8/3)2/1(}2{323CXP(5分)3．3/21112adxax，.2/3a1,1,10,2/30,0}{)(22yydxxyyXPyFyyY其他,,,)/()()('01023yyyFyfYY(5分)4.由}70{}70{5.0XPXP，得70，由25.0)10(1)10(}1070{}60{XPXP，得68.010，71.14。(5分)5．))2arctan((arctan21))(1(121)(21)()()(20220zzdxxzdxxzfdxxzfxfzfYYXZ(5分)6由已知条件可得，,25)(,5)(XDXE,9)(,10)(YDYE故.).()(),()()(271993550122549124532YDYXCovXDYXD(5分)7.因为，),(~)(),,(~)(1021103154321NXXNXXXY，所以，)(~)()(2213122542321XXXXXY。（5分）二设A表示事件任取的一枚硬币为正品，B表示将硬币掷r此每次都出现国徽，则由全概率公式，得mnnnmmABPAPABPAPBPr21)|()()|()()(；(4分)由Bayes公式，所求概率为.2)(/)|()()(/)()|(rnmmBPABPAPBPABPBAP(4分)三（1）其它，其它，,0,10,)1(3,0,10,)1(6),()(21xxxdyydyyxfxfxX其它，其它，,0,10),1(6,0,10,)1(6),()(0yyyydxydxyxfyfyY(6分)（2）因为),()()(yxfyfxfYX，故，X与Y不独立。(3分)（3）.4/1)1(61),(1}1{2/1011xxyxdyydxdxdyyxfYXP(3分)四由题设条件知.2/1)(|,|),1,0(~XEaXYUX(2分)又因为.2/1)()(||)(21010aadxaxdxxadxaxYEaa.3/12/3/)()(||)(31010aadxaxxdxxaxdxaxxXYEaa.12/12/3/)()()(),(023aaYEXEXYEYXvC(6分)故由0),(YXCov可得方程，016423aa，此方程等价于0)122)(12(2aaa，从中解得在)1,0(内的实根为5.0a，即5.0a时，X与Y不相关。(2分)五设每月至少应生产n片液晶片，其中的合格品数为X，则)80.0,(~nBX。下面求n，使下述概率不等式成立997.0}10000{XP或.003.0}10000{XP(3分)由中心极限定理，.003.0)16.08.010000(}16.08.0100002.08.08.0{}10000{nnnnnnXPXP(5分)查表可得75.216.08.010000nn，由此解得12655n2，即每月至少应生产12655片液晶片。(2分)六（1）).1/()()(110dxxxdxxxfXE令X)1ˆ/(ˆ，得的矩估计量为2)1(ˆXX。(5分)（2）设nxxx,,,21为样本观察值，则似然函数为其它，,,,,,)()()(0012111nniinxxxxL当nixi,,2,1,10时，对数似然函数为niixnL1ln)1(ln2/)(ln，令,0212))((ln1niixndLd得的极大似然估计量为.)ln1(ˆ21niiXn(5分)七（1）检验假设2221122210:,:HH0H为真时，)11,10(~2221FSSF，由观测值，251.1)11/41.2/()10/74.2(/2221ssf，而42.5)11.10(005.0F，2092.0)11.10(995.0F，且42.5251.12092.0，故接受0H。(4分)（2）检验假设210:H，211:H，选取统计量21/1/1nnSYXTw，其中2)1()1(212222112nnSnSnSw，当原假设0H为真时，11/110/1wSYXT~)21(t，由01.0，查t分布表，得8314.2)21(005.0t，则拒绝域为}8314.2|{|t，又8314.27985.23|11/110/121/)41.274.2(37.45.5|||t，故拒绝原假设0H。(4分)（3）21的置信度为%95的置信上界为)10(102121S，940.3)10(295.0，由观测值算得置信上界为69540943742../.。(4分)八因为ˆ是参数的无偏估计，则)ˆ(E，又已知0)ˆ(D，从而2222)ˆ())ˆ(()ˆ())ˆ((DEDE，故2ˆ不是2的无偏估计。(3分)西安交通大学考试题课程概率论与数理统计学院专业班号考试日期2014年1月13日姓名学号期末一、解答题（每小题6分，共36分）1.对于事件,AB，已知,5.0)(AP4.0)(BP，7.0)(BAP，求)(BAP.2.一个学生宿舍有4名同学，（1）求4人生日都不在星期日的概率；（2）求4人生日不都在星期日的概率3.设随机变量X的分布函数为,0,0,0,)(2/2xxBeAxFx(1)确定BA,的值；（2）求}42{XP。（3）求X的概率密度。4设随机变量X和Y相互独立，),7,1(~NX),1,3(~NY记,3YXZ,XeW求随机变量Z和W的概率密度。成绩5.设随机变量X和Y，),2.0,10(~BX)5(~PY，如果))3(()3(2aYXEaYXD，求a的值；又,5.0XY求)3(aYXD。6.设总体),(~2NX，1021,,,XXX是来自总体X的样本，9191iiXX，2912)(81iiXXS，求统计量10910SXX的分布.二（10分）已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.2%是色盲患者，若从男女人数之比是4:6的人群中随机地挑选一人，问（1）此人恰好是色盲患者的概率；（2），如果此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？三（16分）设二维随机变量(,)XY的联合概率密度为其它，,0,10),1(),(xyxayyxf1.确定a的值；2.求边缘密度()Xfx和()Yfy；3.判断X与Y是否独立？4.求}1{YXP.四（6分）某公司出售的手机的寿命X（以年计）服从参数为5/1的指数分布，该公司规定;出售的手机若在一年之内损坏可以予以调换，若出售一部手机获利200元，调换一部手机公司需要花费300元，试求公司出售一部手机净获利的数学期望。五（10分）某校有20000名学生，每人以60%的概率去教室自习，问学校至少应设多少个座位，才能以95%概率保证去上自习的同学都有座位坐？)95.0)65.1((六（10分）设),,,(21nXXX是来自总体X的样本，已知总体X的概率密度为其它，,0,0,);(2xxexfx其中0为未知参数，（1）求参数的矩估计量；（2）求参数极大似然估计量。七（12分）某大学从来自A、B两市的新生中分别随机抽取8名与9名新生，测其身高（单位：cm）后算得0.172,9.175yx，1.9,3.112221ss，假设两市新生的身高分别服从正态分布),(~211NX，),(~222NY，其中的参数均未知。(1)A市新生的平均身高是否为175cm(05.0)?(2)两市新生的身高的方差是否相等（05.0）？(3)求21