14.1.1直角三角形三边的关系

14.1.1直角三角形三边的关系一、情境引入会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：朱实黄实朱实朱实朱实ABCabc赵爽·弦图试一试1.直角三角形三边之间的关系测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c关系1212根据测得的数据，你能作出怎样的猜想？和其他同学交流一下异同.RQPCAB图14.1.1图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R,PSSRQ与、S之间存在怎样的关系？PRSSSQ22ACAB2即：BC观察ABCPQR试一试（每一小方格表示1cm2)图14.1.2观察图14.1.2，可得：PS=cm2SQSR=cm2=cm291625PSSRQ与、S之间存在怎样的关系？PRSSSQ22ACAB2即：BC方法1方法2做一做ABCPQR方法一：分割成若干个直角边为整数的三角形SR25144312(cm2)（每一小方格表示1cm2)图14.1.2返回ABCPQR（每一小方格表示1cm2)图14.1.2方法二：补成一个正方形SR252174432(Cm2)返回做一做在图14.1.3的方格图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立？（每一小方格表示1cm2)图14.1.351213因为52+122=169，132=169，所以52+122=132勾股定理对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有222abc即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc如果知道了直角三角形两边的长度,那么应用勾股定理可以求出第三边的长度CBA勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cbac2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2acb22cab22例1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；(2)已知：a=40，c=41，求b；(3)已知：c=13，b=5，求a；(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.方法小结例2如图14.1.4,将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为2.16米,求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB(精确到0.01米)CBA图14.1.4CBA图14.1.4解：如图14.1.4,在Rt△ABC中，BC=2.16米，AC=5.41米，根据勾股定理可得22ABACBC225.412.164.96.（米）答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB约为4.96米.例3如图,为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC长为160米，BC长为128米，问从点A穿过湖到点B有多远？BC课堂小结1.谈谈你这节课的收获与感受；2.你还有什么困惑？222abc1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc2.在直角三角形中已知两边求第三边：22cab,,abc已知、求22acb,,b已知c、求a22bca,,已知c、a求b活动拼一拼：拿出你准备的四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形。acbcba你能用两种方法表示这个大正方形的面积吗？2c=2)(214abab22222aabbabc222bac证法二：abc你能用两种方法表示这个小正方形的面积吗？2c=abba214)(2abbabac22222222bac证法三：商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。什么是勾、股呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作商高定理。毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇....于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达格拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．一个周末的傍晚，伽菲尔德突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。证法四：（伽菲尔德证法1876年）ABCDE如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；))((21baba梯形ABCD的面积＝2212121cabab梯形ABCD的面积＝∴2212121))((21cababbaba∴222cba１、如图:一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C试一试:３４２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为()ABCA.5米B.12米C.10米D.13米1312?A试一试:３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为()A2、4、6Ｃ4、6、8B试一试:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、125或7４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为.试一试:43ACB43CAB11数学的和谐美勾股小常识：勾股数1、a²+b²=c²，满足(a,b,c)=1则a,b,c,为基本勾股数如：3、4、5;5、12、13;7、24、25……2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、18……3、若a,b,c是一组基本的勾股数，则a,b,c不能同时为奇数或同时为偶数4、一组勾股数中必有一个数是5倍数5、2mn,m²-n²,m²+n²为勾股数组，mn﹥0,m,n一奇一偶