【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第12章 第4节 直接证明与间接证明

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明算法初步、复数、推理与证明第十二章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明第四节直接证明与间接证明第十二章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明考纲要求命题分析1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的大脑的体操，在高考中占据重要地位，除在立体几何中考查空间位置关系的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线等相结合进行考查，要求学生具备较强的逻辑思维能力、推理论证能力和综合能力以及化归与转化思想．本节在高考中一般不会直接命题，往往是以其他知识为载体作为一种方法考查相关内容．预计2016年高考对本节知识的考查主要是导数及其应用，不等式及其证明，数列的递推公式及通项公式，题型多为解答题，分值约为12分．与数列知识结合命题的机会较大，主要考查不等式的放缩.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明1.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．2．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，把这样一种思维方法称为综合法．综合法是一种________的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2…⇒Pn(结论)．由因导果走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明3．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理定理等，把这种思维方法称为分析法．分析法是一种________的证明方法，用分析法证明的逻辑关系是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件．执果索因走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明4．反证法在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定命题结论的反面不可能成立．由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．数学中的命题，都有题设和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1)____________________；(2)____________________；(3)____________________．作出否定结论的假设进行推理，导出矛盾否定假设，肯定结论走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明1.用反证法证明命题“如果ab，那么3a3b”时，假设的内容应是()A．3a＝3bB．3a3bC．3a＝3b且3a3bD．3a＝3b或3a3b[答案]D[解析]3a3b的反面是3a≤3b，它的含义为3a＝3b或3a3b.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明2．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件[答案]A走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明3．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()A．tsB．t≥sC．tsD．t≤s[答案]D[解析]∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，∴s≥t.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明4．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x0)，则a与b大小关系为()A．abB．baC．a＝bD．a≤b[答案]A[解析]∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝exe0＝1，故aB．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明5．(文)要证明“3＋725”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法．[答案]②走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明(理)(创新题)已知a，b为不相等的实数且a0，b0，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．[答案]xy[解析]x2＝a＋b＋2ab22a＋b2＝a＋b＝y2，∴xy.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明6．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是________________________．[答案]三角形的三个内角都大于60°[解析]用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明综合法如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA．求证：(1)平面AMD∥平面BPC；(2)平面PMD⊥平面PBD．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明[规范解答]证明：(1)因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因为PB平面BPC，MA⃘平面BPC，所以MA∥平面BPC．又AD∥BC，AD⃘平面BPC，BC平面BPC，所以AD∥平面BPC，又MA平面AMD，AD平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明(2)连接AC，设AC∩BD＝E，取PD的中点F，连接EF，MF.因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD的中点．因为F为PD的中点，所以EF12PB．又AM∥12PB，所以四边形AEFM为平行四边形．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明所以MF∥AE.因为PB⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PB⊥AE，所以MF⊥PB．因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．所以MF⊥平面PBD．又MF平面PMD，所以平面PMD⊥平面PBD．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明[方法总结]1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.[证明]x是正实数，由基本不等式知x＋1≥2x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2x3，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x·2x·2x3＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明分析法已知非零向量a，b且a⊥b，求证|a|＋|b||a－b|≤2.[思路分析]a⊥b⇔a·b＝0.同时注意，|a|2＝a2，将要证式子变形平方即可获证．[规范解答]∵a⊥b，∴a·b＝0.要证|a|＋|b||a－b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a－b|，走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明平方得|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋|b2|－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0.∵(|a|－|b|)2≥0成立，∴原不等式成立．[方法总结]当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13(a2＋b2)12.[解析]因为a，b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，只需证[(a3＋b3)13]6[(a2＋b2)12]6，即证(a3＋b3)2(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b33a4b2＋3a2b4.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab3(a2＋b2)．而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab2ab成立，所以(a3＋b3)13(a2＋b2)12.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明反证法已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2，求证：1＋ba，1＋ab中至少有一个小于2.[思路分析]已知条件较少，结论反而有三种情况，故联想到从结论的反面入手较易，即使用反证法．[规范解答]假设1＋ba，1＋ab都不小于2，即1＋ba≥2，1＋ab≥2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明∵a＞0，b＞0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b，这与已知a＋b＞2矛盾，故假设不成立．即1＋ba，1＋ab中至少有一个小于2.[方法总结]结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑使用反证法．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明用反证法证明不等式若p0，q0，p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.[证明]假设p＋q2，即p2－q，∴p3(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，即8－12q＋6q2－(q3＋p3)0，∴6－12q＋6q20，那么q2－2q＋10，∴(q－1)20与(q－1)2≥0相矛盾，故假设不成立，∴p＋q≤2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明[点评]条件与结论之间的因果关系不是很明显，直接证明无从着手，可考虑使用反证法.反证法是常用的一种重要的思维方法和数学方法，在平面几何、不等式及立体几何中有着广泛的应用.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十二章算法初步、复数、推理与证明反证法在证明题中的应用直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x24＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上