【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用导数及其应用第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理(理)第三章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用考纲要求命题分析1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义.从近几年高考命题看，本节内容多以选择题或填空题形式出现，主要是利用微积分基本定理进行计算求值，利用定积分的几何意义求平面图形的面积．预测2016年高考仍将坚持考查利用定积分求图形面积或求值，考查微积分基本定理的方法很灵活，备考中应予以关注.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1.定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0x1x2…xn－1xn＝B．第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ηi，使f(ηi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(η1)Δx1＋f(η2)Δx2＋…＋f(ηi)Δxi＋…＋f(ηn)Δxn.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作______，即______＝A．其中叫作______，a叫作________，b叫作________，f(x)叫作______．abf(x)dxabf(x)dx积分号积分下限积分上限被积函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2.abf(x)dx的实质(1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时，abf(x)dx表示_______________________________________________________________，这也是定积分的几何意义．(2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时，abf(x)dx表示__________________________________________________________________________________________.由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，abf(x)dx表示介于x＝a，x＝b(a≠b)之间x轴上、下相应的曲边梯形的面积的代数和．3．定积分的运算性质(1)ab1dx＝______.(2)abkf(x)dx＝________.(3)ab[f(x)±g(x)]dx＝_______________.(4)abf(x)dx＝___________________.b－akabf(x)dxabf(x)dx±abg(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(acb)走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝__________.这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|ba.即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．5．利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的关键是____________________，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．F(b)－F(a)求被积函数的原函数走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用1.241xdx＝()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2[答案]D[解析]241xdx＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用2．下列值等于1的积分是()A．01xdxB．01(x＋1)dxC．011dxD．0112dx[答案]C[解析]011dx＝x|10＝1－0＝1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用3．已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A．2π5B．43C．32D．π2[答案]B走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[解析]本题考查定积分的计算．由图像知，f(x)＝1－x2，∴S＝－11(1－x2)dx＝(x－x33)|1－1＝43.定积分的几何意义是曲边梯形的面积．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用4．(2014·陕西高考)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1[答案]C[解析]本题考查定积分的计算、微积分基本定理．01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e－1＝e.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．[答案]33[解析]本题考查定积分知识．由01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝(13ax3＋cx)|10＝13a＋c＝f(x0)＝ax20＋c(a≠0)，∴x20＝13，又∵0≤x0≤1，∴x0＝33.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用6．若01(2x＋k)dx＝2，则k＝________.[答案]1[解析]01(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|10＝1＋k∴1＋k＝2，∴k＝1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用定积分的计算求下列定积分：(1)02(3x2＋4x3)dx；(3)12x－x2＋1xdx；(4)01－x2＋2xdx；(5)－11(xcosx－5sinx＋2)dx.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[思路分析]先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．当原函数较难求时，可考虑由其几何意义求得．[规范解答](1)02(3x2＋4x3)dx＝023x2dx＋024x3dx＝x3|20＋x4|20＝24.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(3)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22|21－x33|21＋lnx|21＝32－73＋ln2＝ln2－56.(4)y＝－x2＋2x＝1－x－12⇔y≥0，x－12＋y2＝1，由图形可知：01－x2＋2x＝π4.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(5)因为f(x)＝xcosx－5sinx在[－1,1]上为奇函数，所以－11f(x)dx＝0.－11(xcosx－5sinx＋2)dx＝－112dx＝2x|1－1＝4.[方法总结](1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用计算下列定积分：(1)－13(3x2－2x＋1)dx；(2)1e(x＋1x＋1x2)dx；(3)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e]，试求0ef(x)dx的值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[解析](1)－13(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.(2)1e(x＋1x＋1x2)dx＝1exdx＋1e1xdx＋1e1x2dx＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1＝12(e2－1)＋(lne－ln1)－(1e－11)＝12e2－1e＋32.(3)0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋lne＝43.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[思路分析]先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．利用定积分求面积利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[规范解答](1)曲线所围成的区域如图(1)所示：设此面积为S，则S＝02(x－0)dx＝02xdx＝23x32|20＝23×232＝432.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用(2)解法1：曲线所围成的平面区域如图(2)所示：S＝A1＋A2.A2由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A1由y＝x，y＝x－2，x＝1围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx＝201xdx＋14xdx－14xdx＋142dx＝2×23x32|10＋23x32|41－12x2|41＋2x|41＝2×23＋23×432－23－12×42－12＋2×4－2＝43＋163－23－8＋12＋6＝6－8＋12＋6＝412.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用解法2：由y＝x－2x＝y2得y2－y－2＝0所以y1＝－1，y2＝2，故所求面积为S＝－12[(y＋2)－y2]dy＝－12(y＋2－y2)dy＝(12y2＋2y－13y3)|2－1＝(12×22＋2×2－1323)－(12×1－2＋13)＝412.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用[方法总结]求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出曲线交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．[解析]由y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；由y＝2－xy＝－13x得交点B(3，－1)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第三章导数及其应用故所围成区域的面积为S＝01(x＋13x)dx＋13(2－x＋13x)dx＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－13x2)|31＝23