机械工程控制基础第6章控制系统的稳定性分析

第六章控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用的首要条件就是必须稳定。一个不能稳定的系统是不能工作的。判别系统稳定性的准则，也称为系统的稳定性判据。劳斯判据:是依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，它是一种代数判据。奈奎斯特判据:是依据系统的开环奈奎斯特图与坐标上（-1，j0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，这是一种几何判据。波德判据:实际上是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。但在描述系统的相对稳定性与稳态裕度这些概念时，波德判据显得更为清晰、直观,从而获得广泛采用。第一节控制系统稳定性的基本概念跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。一、稳定性概念稳定性的定义：控制系统在外部拢动信号作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统能以足够的精度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。图6-1所示系统1在扰动消失后，它的输出能回到原来的平衡状态，该系统稳定。而系统2的输出呈等幅振荡，系统3的输出则发散，故它们都不稳定。注意：控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。图6-1系统稳定性示意图二、系统稳定性的条件稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲x(t)=(t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t→∞时，脉冲响应即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。lim0tyt设线性定常系统输入为x(t)，输出为y(t)，线性定常系统的动态特性，可用如下的常系数线性微分方程来描述：nn1nn110nn1mm1mm110mm1dytdytdytaaaaytdtdtdtdxtdxtdxtbbbbxtdtdtdt式中，n≥m;an、bm均为系统结构参数所决定的定常数。（n，m=0、1、2、3…）11101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsXsasasasa由于输入为脉冲函数(t)，X(s)=1，所以1110111012211()()()(2)mmmmnnnnmiiqrjknknkjkbsbsbsbYsasasasaKsZspss（6-2）rknknkkkkqjjjssCsBpsAsY12212)(上式的拉氏反变换为11()cossinjknkqrpttkknkkjkdkdkjkdkCBytAeeBtt（6-3）为便于分析，假定闭环传递函数有q个相异的实数极点及r对不相同的共轭复数极点，则如果所有闭环极点都在s平面的左半面内，即系统的特征方程式根的实部都为负，当t→∞时，方程（6-3）式中的指数项e-pjt和阻尼指数项e-knkt将趋近于零。即y(t)→0，所以系统是稳定的。系统稳定的充要条件：特征方程的根均具有负的实部。即：闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面的左半平面内。设系统闭环传递函数为11101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsXsasasasa001-1-1asasasannnn则系统的特征方程为例某单位反馈系统的开环传递函数则系统的闭环传递函数G()(1)KssTs2()()1()GsKsGsTssK特征方程式为特征根20TssK1,21142TKsT因为特征方程根具有负实部，该闭环系统稳定。特征根中只要有一个是正实根，则式(6-3)的解就发散，系统就不稳定；当特征根中的共轭复根具有正实部时，式(6-3)解呈发散振荡，故系统不稳定；若特征根中有零根，则式(6-3)全解中的瞬态分量将趋于某个常值，相当于系统偏离平衡状态，故系统也不稳定；若特征根中含有共轭虚根，则式(6-3的解呈等幅持续振荡，这时系统出现所谓临界稳定状态。从控制工程实践角度看，一般认为临界状态也是属于不稳定的范畴。当特征根中没有零根，没有共轭虚根，并且所有实根都是负的，共轭复根具有负实部时，式(6-3)的解是指数衰减的，或衰减振荡的，因而系统稳定。总结第二节劳斯稳定判据判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴左侧。这样就面临着两种选择；1.解特征方程确定特征根，这对于高阶系统来说是困难的。2.讨论根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有几个右根。劳斯稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。)()(1)()()()(sHsGsGsXsYsG(s)H(s)X(s)Y(s)+-图6-2系统的框图一、劳斯稳定判据的必要条件设系统方块图如图6-2，其闭环传递函数为系统的特征方程式可表示为)()()()()(1)()(1sAsBsAsAsBsHsG设开环传递函数为)()()()(sAsBsHsG-1-110-1-10112()()()0nnnnnnnnnnnnnDsAsBsasasasaaaaasssaaaassssss则式中，s1，s2，···，sn-1，sn为系统的特征根。（6-4）-112-212131-3123124210123421nnnnnnnnnnnnnnnnasssaassssssaasssssssssaasssssssa将式（6-4）的因式乘开，由对应系数相等，可求得根与系数的关系为（6-5）从式（6-5）可知，要使全部特征根s1，s2，···，sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2，···，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（6-5）。此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才能满足式（6-5），按着惯例，ai一般取正值（如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它们都变成正值）。上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即ai0。要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：1.特征方程的各项系数ai(i=0，1，2，···，n)均不为零。2.特征方程的各项系数ai符号一致。以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件，因为此时还不能排除有不稳定根的存在。劳斯稳定判据的必要条件特征方程系数的劳斯阵列如下：1011213-3212-7-5-3--1-16-4-2-esdsccsbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn二、劳斯稳定判据的必要条件在上面的劳斯阵列中bi、ci、di、ei的计算公式如下：141713176131315121541212131113211bbaabcaaaaabbbaabcaaaaabbbaabcaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上产生第四行，这样计算直到只有零为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1称为劳斯阵列中的第一列元素。劳斯稳定判据的必要且充分条件是：（1）系统特征方程的各项系数皆大于零，即ai0；（2）劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。试用劳斯判据判别系统的稳定性。61717746)()(1)()()(234ssssssHsGsGsXsY解：闭环系统的特征方程式0617177)()(1234sssssHsG劳斯阵列为614.12614.580177617101234sssss例6-1某一系统的闭环传递函数为由于特征方程式的系数以及第一列的所有元素都为正，因而系统是稳定的。)2)(1()(sssKsG例6-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为试确定K值的闭环稳定范围。解：其单位反馈系统的闭环传递函数为KsssKsGsGsXsY23)(1)()()(2302323Ksss特征方程式为劳斯阵列为363210123KsKsKss例6-3设单位反馈系统的开环传递函数为若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情况又如何？由稳定条件得因此K的稳定范围为0360KK60K1613)(sssKsG解：系统的特征方程式为s3+9s2+18s+18K=0令u=s+1得如下u特征方程0)1018(3623Kuuu10-18391410-186310123KsKsKss劳斯阵列为所以5/9K14/9闭环特征方程式的根的实部均小于-10)818(6323Kuuu由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2。若要求实部小于-2，令u=s+2得如下新的特征方程劳斯判据判断系统的相对稳定性。三、劳斯判据的特殊情况例6-4设有特征方程为试判断系统的稳定性。0122234ssss1．某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数来代替零元素，然后继续进行计算。12210ε022111s0234ssss22由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变化，表明特征方程在［s］平面的右半平面内有两个根，该闭环系统是不稳定系统。解：劳斯阵列：此时第三行第一列元素为零，用一无限小代替0，然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上，观察第一列各项数值，当→0时，则2．某行全部元素值为零的情况说明系统的特征方程式的根中存在以下情况：1）存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定）；大小相等符号相反的实根-aaj02）存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）；3）存在一对共轭纯虚根；（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；4）以上几种根的组合。对称于实轴的两对共轭复根-aaj0-jbjb共轭虚根j0-jaja在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断，为了构造完整的劳斯阵列，以具体确定使系统不稳定根的数目和性质，可将全为零元行的上一行的各项组成一个“辅助方程式A(s)”。将方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数，然后继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余下各行直至计算完（n+1）行为止。由于根对称于复平面的原点，故辅助方程式的次数总是偶数，它的最高方次就是特征根中对称复平面原点的根的数目。而这些大小相等、符号相反的特征根，可由辅助方程A(s)=0求得。0161620128223456ssssss例6-5设某一系统的特征方程式为试判断系统的稳定性。解：特征方程各项系数为正，列出劳斯阵列表如下：00861)1612(2861)1612(2