正交试验结果的统计分析方法

2020/2/8第二章实验结果的统计分析方法——方差分析法第四章方差分析2020/2/8方差分析所要解决的问题：各影响因素对结果影响程度的相对大小；各影响因素间是否存在相互作用；实验条件如何优化。通常称多次实验结果之间的差异为变差，变差一般用偏差平方和表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于总偏差平方和，即偏差平方和具有加和性，这是建立方差分析的基础。第四章方差分析2020/2/8本章内容：2.1概述2.2单因素方差分析2.3无重复两因素方差分析第四章方差分析2020/2/82.1概述2.1.1基本概念（1）因素：表示对结果产生影响的各种条件、方式、方法等，如温度、时间、酸度等。（2）水平：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。（3）指标：结果的标志，可体现为收率、产量等。（4）偶然误差：因未能控制的“偶然因素”所引起的误差叫“实验误差”，即随机误差。（5）系统误差：由于实验因素的变异引起实验结果的数量差异，也称为“条件误差”。2.1.2方法把全部数据关于总体平均值的方差分解成几个部分，每一部分表示方差的一种来源，将各种来源的方差进行比较，判断实验各有关因素对实验结果的影响大小。第四章方差分析2020/2/8【例2－1】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行实验，每种催化剂测试4次，得收率如下表：因素：催化剂；水平：5种指标：收率偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差s系统误差：各催化剂下所得平均值的差异催化剂12345收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.9450第四章方差分析2020/2/82.2单因素方差分析研究单一因素对试验结果的影响。此时，方差分析的目的是考察一个因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。数学模型：xij=µ+ai+rij式中，µ：总体平均值；ai：i水平（i=1,2,…,ni,ni为水平重复数）对结果的影响，即i水平下的系统误差；rij：随即误差（j=1,2,…,m,m为水重复平数）。该数学模型表示：实验结果＝总体平均值＋因素作用＋随即误差第四章方差分析2020/2/82.2.1单因素方差分析基本公式设有m个相互独立的正态总体:各个总体的方差相等：现从总体中抽取容量为ni的随机样本：设为从第i个总体抽取的样本平均值（组平均值），为总平均值，n为从m个总体中抽取的样本总容量，则：),(,),,(,),,(),,(22222211mmiiNNNN2222221mi),,2,1;,2,1(,,,,,21iinijiinjmixxxxiixxinjijiixnx11imiiminjijxnnxnxi11111miinn1第四章方差分析2020/2/8样本对照表第四章方差分析2020/2/82.2.2偏差平方和设Q为偏差平方和，即所有样本测定值与总体平均值之差的平方和，则：式中最后一项为协方差，由于：所以))((2)()()]()[()(11211211211211xxxxxxxxxxxxxxQiiminjijminjiiminjijiiminjijminjijiiiii＝＝injijiixxn10))(()()())((111111iinjijmiinjijmiiiiminjijxnxxxxxxxxxxxiii＝＝＝第四章方差分析2020/2/8令：则：Q=Qe+U1211)(iminjijexxQi2111)(xxUminjii单因素方差分析的基本关系式，说明偏差平方和具有加和性，即总偏差平方和可以分解为具有不同来源的若干项。Qe为组内偏差平方和：表示各水平下多次实验结果间的差异。由于因素影响完全相同，所以为随机波动所致，属于随机误差。U1为组间偏差平方和：反映各样本平均值间的差异，即在因素不同的水平下实验结果相互间的差异，它说明了因素的不同水平对结果的影响。第四章方差分析2020/2/82.2.3方差分析统计量（1）自由度令f、fe及f1分别为总自由度、组内（随即误差）自由度和组间自由度，则：111nnfmiimnnfmiie)1(111mf1fffe表明自由度具有加和性第四章方差分析2020/2/8（2）方差令分别为总方差、组内方差和组间方差，则有：（3）统计量为构造统计量，先求出Qe、U1的期望值：2122ssse和、12nQfQsmnQfQseeee2111121mUfUs221211211)()1(])([])([)(mnnxxExxEQEmiiinjijmiiminjijeii2mnQEe22)(esE表明，不论各总体平均值µ1，µ2，…µi，…，µm是否相等，为σ2的无偏估计量2es第四章方差分析2020/2/8令则可以推得：imiiinn11＝2122111)()1()()(imiiminjinmxxEUEi2121)(111imiinmmUE21221)(11)(imiinmsE可见，只有当µ1=µ2=…=µi=…=µm时，才是σ2的无偏估计量，否则它的期望值将大于σ221s第四章方差分析2020/2/821221)(11)(imiinmsE式中，第二项表达了因素不同水平的影响，为判断因素的m个水平对实验结果的影响是否存在显著性差异，只需判断该项是否存在即可。为此，可进行F-检验，用如下统计量：)/()1/(1221mnQmUssFee若因素的m个水平对实验结果的影响不存在显著性差异，则相当于各总体均值相等。则第二项为0，有相同的期望值，皆为σ2。此时，统计量应趋于1。若因素的不同水平对结果存在显著性影响，则的期望值不等，此时，统计量将明显大于1。因此，可以根据F的大小（与临界值比较）判断有关因素的不同水平对实验结果是否存在显著性影响。221ess和221ess和第四章方差分析2020/2/8单因素方差分析的程序：①提出原假设和备择假设：原假设为H0:µ1=µ2=…=µi=…=µm备择假设H1：各总体均值不等②设原假设的前提成立：③由已知条件计算统计量：计算偏差平方和、自由度及F值④根据显著性水平α，查出，若，原假设成立；若，原假设不成立，而备择假设成立⑤最后，将计算结果及结论整理成方差分析表。22221m),(,1effF),(,1effFF),(,1effFF第四章方差分析2020/2/8单因素方差分析表211)(iminjijexxQi第四章方差分析2020/2/8【例2－2】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行实验，每种催化剂测试4次，得收率如下表：请对实验结果进行方差分析。解：n=20，m=5，ni=4催化剂12345收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.9450第四章方差分析2020/2/8催化剂12345总和收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.94503.653.353.523.233.7817.443.16982.80893.10502.61173.572615.2680injijx1injijx12第四章方差分析2020/2/8（1）偏差平方和016.0)(1211112iinjijmiiminjijexnxQ04427.0)(1)(12112111minjijnjijmiiiixnxnU所以：Q=Qe+U1=0.06027（2）自由度：fe=n-m=20-5=15f1=m-1=5-1=4f=n-1=20-1=19（3）方差011.015016.02eeefQs001106.0404427.01121fUs第四章方差分析2020/2/8（4）F-检验06.100011.001106.0221essF查F-分布表得：F0.05,(4,15)=3.06F（5）结论：催化剂间有差别，且对结果影响较大。（6）方差分析如下表所示误差来源偏差平方和自由度均方差F值F临界值结论*组间0.0442740.0110610.063.06**组内0.01605150.0011总和0.06032190.003175注：用*表示有影响；**表示影响显著；***表示影响高度显著；下同第四章方差分析2020/2/8【例2－3】某4个实验室用典法测定一种铜合金（HPb60-1）试样中铜的含量，均测定5次，结果如下表所示：实验室测定结果/Cu%A66.3760.8560.5660.9260.22B60.8660.9861.0460.5360.71C60.6360.4760.8260.3960.77D61.4461.2461.6761.0461.15试分析各实验室的测定结果之间是否存在显著性差异。第四章方差分析2020/2/82.3无重复两因素方差分析单因素方差分析只研究一种因素对实验结果的影响，当可能存在多个因素对结果产生影响时，虽然可以采用“固定其他因素，研究变化因素”的方法，对所有影响因素分别研究，但这种方法不仅效率低，而且往往会遗漏最好的组合。2.3.1无重复两因素方差分析的数学模型设因素A有a个水平，即：A1,A2,…,Ai,…,Aa因素B有b个水平，即：B1,B2,…,Bj,…,BbAi，Bj作用下的实验指标为xijk，则有：xijk=μ+αi+βj+δij+rijk式中，k为重复测定次数；δij为Ai、Bj的交互作用；rijk为随机误差。有重复两因素方差分析的数学模型第四章方差分析2020/2/8对于无重复两因素方差分析，δij、rijk无法分辨，可合为一项，用rij表示，相当于随机误差，则：xij=μ+αi+βj+rij在A、B两因素的共同作用下，得到ab个实验结果，如下表：无重复两因素方差分析的数学模型平均值平均值bjBBBB21ABixabajaaibijiibjbjxxxxxxxxxxxxxxxx2121222221111211aiAAAA21xjx.bjxxxx....21....21aixxxx第四章方差分析2020/2/8无重复两因素方差分析的简化计算公式为：总偏差平方和：反映随机误差的偏差平方和：反映因素A各水平之间的偏差：反映因素B各水平间的偏差：aibjijaibjijaibjijxabxxxQ11211211)(1)(aibjijaibjijaiixabxbxxbU112211211)(1)(1).(21UUQQe211211212)(1)(1).(aibjijbjaiijbjjxabxaxxaU第四章方差分析2020/2/8无重复两因素方差分析表偏差来源偏差平方和自由度方差F值F临界值显著性A的影响U1B的影响U2随机误差Qe总和Q11af12bf)1)(1(bafe1abf1121aUs1222bUs)1)(1(2baQse12