特征值与特征向量

第15讲特征值与特征向量的性质主要内容：特征值与特征向量的性质4.2特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质在解决某些问题时至关重要,需要记住.性质1设n阶方阵A=(aij)的n个特征值为1,2,…,n(重根按重数计算),则(1)1+2+…+n=a11+a22+…+ann.(2)12…n=|A|.在n阶方阵A=(aij)中,a11+a22+…+ann称为A的迹(trace),记为tr(A).性质1(1)表明,A的所有特征值的和等于方阵A的迹.例如二阶方阵A=(aij)的特征方程为22211211||)(aaaafEA21122211))((aaaa0||)(22112Aaa其特征值为1,2,则由一元二次方程根与系数的关系有(1)1+2=a11+a22.(2)12=|A|.如果知道n阶方阵A=(aij)的n个特征值为1,2,…,n,则可由(2)得出|A|.特别地,方阵A有一个特征值为0当且仅当|A|=0.性质2设为方阵A的特征值,则(1)对于任意数l,l是lA的特征值.(2)对于任意自然数k,k是Ak的特征值.ProofAx=x.(1)(lA)x=l(Ax)=l(x)=(l)x.(2)当k=0,1时，结论显然成立.假设对于任意自然数k,k是Ak的特征值.k+1:)()(1xAAxAAxAkkk.)(1xxkk)()(AxxAkk设对于任意n阶方阵A,例如,取mmxaxaxaax2210)(mmaaaaAAAEA2210)(328765)(xxxx1011A.12016128765)(32AAAEA若为方阵A的特征值,则()是(A)的特征值,且特征向量相同.存在非零向量x使得Ax=x.由性质2知,若n阶方阵A=(aij)的n个特征值为1,2,…,n,则(A)的n个特征值为(1),(2),…,(n).xAAAExA)()(2210mmaaaaxAxAAxxmmaaaa2210xxxxmmaaaa2210x)(2210mmaaaax)(性质3设为方阵A的特征值,若A可逆,则0,-1是A-1的特征值.Proof由于Ax=x,因为A可逆:A-1(Ax)=A-1(x)x=(A-1x).因为x0,所以0.x=(A-1x)A-1x=-1x-1是A-1的特征值.对于可逆矩阵A，对于正整数k，定义kk)(1AA设对于任意n阶可逆方阵A,mmkkxaxaaxaxax1011)(mmkkaaaaaAAEAAA1011)(若为可逆方阵A的特征值,则()是(A)的特征值,且特征向量相同.特别地,若为方阵A的特征值且A可逆,由于A*=|A|A-1,于是|A|-1是A*的特征值.若n阶可逆方阵A=(aij)的n个特征值为1,2,…,n,则(A)的n个特征值为(1),(2),…,(n).xxA)()(例4.5设方阵A满足A2=E,证明(1)A的特征值为1或-1.(2)4E–3A可逆.Proof(1)设为方阵A的特征值，则2是A2的特征值.由于A2=E且E的特征值为1,于是2=1,这时=1或-1.(2)4E–3A的特征值4-31=1或4-3(-1)=7,由性质1知|4E–3A|0,4E–3A可逆.例4.6设三阶方阵A的1,-2,4.求|A*+3A–2E|Solution|A|=-80,A*=|A|A-1=-8A-1A*+3A–2E=-8A-1+3A–2E.其特征值为|A*+3A–2E|=168.238)(1.6)4(,4)2(,7)1(性质4对应于不同特征值的特征向量线性无关.Proof1,2,…,m是方阵A的m个不同特征值,p1,p2,…,pm分别是与之对应的特征向量,即Api=ipi,i=1,2,…,m.又设存在k1,k2,…,km使得k1p1+k2p2+…+kmpm=0.A(k1p1+k2p2+…+kmpm)=0k11p1+k22p2+…+kmmpm=0..1,...,3,2,222111mkkkkmkmmkkOppp)0,...,0,0(111),,,(11221112211mmmmmmmkkkppp)0,...,0,0(),,,(2211mmkkkppp.,...,2,1,00mikkiiip例4.7设1,2是方阵A的两个不同特征值,p1,p2分别是与之对应的特征向量,则p1+p2不是A的特征向量.Proof(反证)A(p1+p2)=(p1+p2)22112121)(ppApApppA)(212211pppp0)()(2211pp.,21性质5实对称矩阵的特征值是实数.ProofAx=x.考虑.AxxT)()()(xxxxAxxAxxTTTT)()()()(xxxxxxAxAxAxxTTTTTT例4.8设方阵A满足ATA=E,实特征向量x是A的对应于的特征向量,则2=1.Proof由题意有Ax=x.TT)()(xAx)()()()(TTxxAxAx)()(T2TTxxxAAx)(T2Txxxx21