特征值求法

§5.2矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的解、迭代法求线性方程组近似解等问题都会用到该理论。和维非零向量设A是阶方阵，如果数χ定义8使关系式xAxλ成立，非零向量称为A的属于特征值λ的特征向量.χλ为方阵A的特征值,则称数那么χ的任何一个非零倍数χk也是A的),()(χkλχkA0这说明属于同一个特征值0λ的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能属于一个特征值。所以0λ的特征向量。属于向量，如果χ是矩阵A的属于特征值0λ的特征,χλχA0这是因为xλAx可以写成齐次线性方程组0xEλA)(方程组有解0EλA即0λaaaaλaaaaλannn2n12n22121n2111上式是以λ为未知量的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，EλA是λ的n次多项式，记为)(λf称为方阵A的特征多项式。显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。设n阶方阵)(ijaA的特征值为n21λλλ,,则有（1）;nn2211n21aaaλλλ（2）.Aλλλn21如果iλλ是方阵A的一个特征值，求得非零解,ipx则ip就是A的对应于特征值iλ的特征向量。由以上分析知：求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和方程组的解。,)(0xEλAi程组由线性方例7求矩阵6321A的特征值与特征向量。解A的特征多项式为),())((7λλ6λ6λ1λ632λ1故A的特征值为.,7λ0λ21当0λ1时,由0xEλA1)(即方程组,00xx632121解得基础解系为.12p11p就是A的一个属于特征值0λ1的特征向量，A的属于特征值0λ1的所有特征向量为).(为任意常数0kkp1当时，7λ2由0xEλA2)(即方程组,00xx132621解得基础解系.31p2A的属于特征值7λ2的所有特征向量为).(为任意常数0kkp21p就是A的一个属于特征值0λ1的特征向量，例8求矩阵200031143A的特征值与特征向量。解A的特征多项式为,))((2λ1λ2λ2000λ3114λ1EλAA的特征值为.,1λλ2λ321当2λ1时，即方程组0xE2A)(由,000xxx000011143321求得基础解系100p1就是A的一个属于特征值2λ1的特征向量，1pA的对应于特征值2λ1的所有特征向量为1kp（k为不等于0的任意常数）.当1λλ32时，,000xxx100021142321解得基础解系.021p22p就是A的一个属于特征值1λλ32的特征向量，A的对应于特征值1λλ32的所有特征向量为).(为任意的常数0kkp20xEA)(可得方程组由例9求矩阵236102113A的特征值与特征向量。解A的特征多项式为,))((21λ1λλ2113λ162λ3EλAA的特征值为.,1λλ1λ321当1λ时，即方程组,000xxx111311624321解得基础解系.311p11p就是A的一个属于特征值1λ1的特征向量，A的属于特征值1λ1的所有特征向量为).(为任意常数0kkp1,)(0xEA由当1λλ32时，,000xxx311311622321解得基础解系.,110p201p3232pp,就是A的属于特征值1λλ32的特征向量，的所有特征向量为).,(不同时为零213221kkpkpk0xEA)(可得方程组由1λλ32A的对应于在例9中，1是A的2重特征根，A对应于特征值1的线性无关的特征向量有两个，即0xEλA)(的基础解系，由两个解向量组成，在例8中，1也是A的2重根，但A对于特征值1的线性无关的特征向量却只有一个，即0xEλA)(的基础解系只有一个解向量组成。对于一阶矩阵A，如果0λ是A的k重特征根，个数不大于k，所含向量的个数不大于k.可以证明，0λ的线性无关特征向量的则A对应于0xEλA0)(的基础解系也就是说，例10A的特征值只有0和1。设方阵A是幂等矩阵（即），试证AA2证设λ是A的特征值，α是A的对应于λ的特征向量，则),(0ααλαA于是,)()()(αλαAλαλAαAAαAαAαλ22所以，,)(0αλλ2，）（01λλλλ2即。或1λ0λ，因0α所以由例10的证明可以看出，2λ则是2A的特征值。是方阵A的特征值，则kλ是kA的特征值；)(λφ是)(Aφ的特征值，,)(mm10λaλaaλφ.)(mm10AaAaEaAφ其中λ是方阵A的特征值，若按此类推，不难证明λ若例11已知三阶矩阵A的特征值分别为1，-1，2，矩阵,23A5AB试求矩阵B的特征值。解因),(AφA5AB23故,)(23λ5λλφ于是矩阵B的特征值分别为,)(41φ.)(,)(122φ61φ定理3属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证用数学归纳法证明。由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必然线性无关。现在设属于m个不同特征值的特征向量线性无关，征向量m21ppp,,,也线性无关。下面证明m21λλλ,,,的特属于m+1个不同特征值假设有等式0pkpkpkpk1m1mmm22110pkpkpkpkA1m1mmm2211)(即(1)式两端左乘A可得：0pkλpkλpkλpkλ1m1m1mmmm2221110pkλpkλpkλ1m1m1m221m111m将（2）和（3）两式相减得,)()()(0pλλkpλλkpλλkm1mmm21m2211m11(1)1mλ（1）式两端左乘可得：（2）（3）由归纳假设m21ppp,,,线性无关，所以),,,,()(m21i0λλk1mii但),(mi0λλ1mi所以,0ki这时（1）式变为,0pk1m1m又因,0p1m所以只有.0k1m这就证明了1m21ppp,,,线性无关。由此可知，定理的结论是成立的。例12求矩阵0110A的特征值。解A的特征多项式为.)(1λλ11λλf2其有复特征根.,iλiλ21方阵在复数域内总有特征根，这个例子说明:但不一定有实特征根。