多面体与球的外接、内切

球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？.ra球与多面体的内切、外接有关多面体与球的外接、内切问题，是立体几何的一个重点，同时也是难点，也是高考考查的一个热点。研究多面体与球的外接、内切问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体的外接球、内切球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。前言定义1：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。中截面设棱长为a2214=SRa球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O定义2：:一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切，叫棱切ABCDD1C1B1A1O中截面2224=2SRa.球内切于正方体的棱设棱长为a正方形的面对角线为球的直径√𝟐a定义3：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO对角面2a23Ra球的内接正方体的对角线等于球直径。2234=3SRa球外接于正方体设棱长为a球与长方体只有长方体外接球，与球外接于正方体类似，球的直径为体对角线，即：𝟒𝑹𝟐=𝒂𝟐+𝒃𝟐+𝒄𝟐注意：长方体没有内切球步骤：1、球心的位置：轴截面的方法2、半径：构造直角三角形，通常是棱与半径的关系3、方法：将立体转化为平面，找截面图球与其他棱柱切接问题正三棱柱的外接球球心在上下底面中心连线的中点。ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，，，中在设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。rarlhrahl322:,,,)则正三棱柱内切球半径为边长为底面正（即为其高设正三棱柱侧棱长为球与正三棱锥OPABCDHMOHPABCDM正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部球心与底面正Δ中心H重合OPACDMHB度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtΔAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心在它的高上有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH中进行。OH=OK=r.注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。把有关立体几何的计算转化为平面几何(截面图为直角三角形)的计算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin222222)63()33(hbhhba设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为PH=h，斜高为PD=h́，内切圆半径为r，∽bhbhr363(与外接球的球心不一定重合）球与正四面体OPABCDKH两心合一设正四面体棱长为AB=a，外接圆半径为R，内切圆半径为r，OA=OP=R，OH=OK=r，PH=23a，AH=33𝑎则有R+r=OP+OH=PH=23a𝑂𝐴2−𝑂𝐻2=𝑅2−𝑟2=𝐴𝐻2=𝑎23解得R=64ar=612a总结：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径𝒓=𝟏𝟒h(h为正四面体的高)，且外接球的半径R=3r．与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r=𝟐𝟒a例：在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC上侧面SAB，侧棱SC=2，则此正三棱锥的外接球的半径为（）球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球。方法：补形法（主线）：把三棱锥补形为正方体或长方体。常见的两种形式：1、三条侧棱互相垂直且相等，补形为正方体2、三条侧棱互相垂直且不相等，补形为长体𝑅=3（方法：补成长方体）球与其他特殊的棱锥，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面图、补形法等进行求解，如四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何性质，巧定球心位置，在由几何性质找出半径例：在三棱锥的中，满足SA垂直面ABC，AB与BC垂直，取SC的中点为O，设SC为a，求其外接球的半径（）球与其他特殊的棱锥方法：SC/2解决本类问题基础的立体图，综合运用截面图、补形、立体的几何性质等方法，将空间问题转化平面问题求解例：在半径为R的球内放入大小相等的4个球，则小球半径的最大值是（）（6--2）R球与球方法：3、找球心及半径（构造直角三角形）球与多面体的内切、外接心法总则1、找准切点2、画出截面图（将空间问题转化平面问题）