多面体与球的接切问题

简单多面体与球的接切问题一.球的概念1．球的概念与定点的距离等于定长的点的集合，叫做。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.•球的旋转定义•球的集合定义与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体。球面二球的性质性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面．222Rrd性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心组卷网性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:A1.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的半径和面积．解：设O为球心，O′为截面圆圆心，如右图，则OO′⊥O′A，O′A为截面圆半径，OA为球的半径．根据球的表面积公式，则有：4π·AO2＝256π，得AO＝8cm，在Rt△AO′O中，OO′＝12AO＝4cm.所以AO′＝AO2－OO′2＝82－42＝43(cm)．S截面圆＝π·AO′2＝π·(43)2＝48π(cm2)．所以截面圆半径为43cm，面积为48πcm2.2：(2010年高考课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()O1B＝23×3a2＝3a3，R2＝(a2)2＋(3a3)2＝7a212，S＝4πR2＝7πa23规律归纳处理有关球切、接的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心，对角线中点等．问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径．3.若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱(底面是正六边形，各侧面均为矩形)的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．解析：设球的半径为R，∵正六棱柱的最长的体对角线即为球的直径，∴(2R)2＝(6)2＋(2×62)2.∴R＝3，V球＝43π×(3)3＝43π.答案：43π切点：各个面的中心。球心：正方体的中心。直径等于相对两个面中心连线。球的直径等于正方体棱长。aR2三、正方体的内切球一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体？四、长方体的外接球长方体的体对角线等于外接球直径22222abcabcR设长方体的长、宽、高分别为、、，则4．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、2、3，则此三棱锥的外接球的表面积是()A．6πB．12πC．18πD．24π解析：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是1、2、3，它的体对角线是球的直径，∴外接球的直径为2R＝12＋22＋32＝6，表面积为6π.答案：A补形5．把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正方体的棱长．解：设熔制后的大铜球半径为r，则43π(33＋43＋53)＝43πr3，∴r＝6cm.据题意：正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方体对角线的长，故正方体的棱长a＝2r3＝123＝43cm.正方体的外接球aR32五正四面体外接球6.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以＝7．半径为R的球的外切圆柱的表面积是________．解析：外切圆柱的底面半径为R，高为2R.答案：6πR2正四面体常常补成正方体求外接球的半径三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体小结:常见的补形例1：如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为（）将半球补成整球2222(2)2aaaR分析2222222,,22,232OAaOBRABaaaRRaOABOAB设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.设正方体棱长为a，易知：222223662SRaSaa半球正方体3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.rShSV全面积底面积3131ar126ShSr底面积全面积14SrSh底面积全面积14rh？63ha正四面体的外接球和内切球的球心一定重合R:r=3:1ar12664Ra＝PABCMORR.正四面体的外接球还可利用直角三角形勾股定理来求PAMDEODOPABCDKH.正四面体的内切球还可利用截面三角形来求O1ABEO132F