高一必修五余弦定理(一)

复习一、正弦定理可解决两类三角问题：1、知两角及一边，求其它的边和角；2、知两边及其中一边的对角，求其它的边和角.注意：第二种类型的问题可能有一解、两解、无解三种情况.A的范围a,b关系解的情况A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba＜bsinAa=bsinAbsinA＜a＜b一解无解无解一解两解a≥b一解二、已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况：AbaAbabsinA三、掌握“边角互化”的解题思想相关知识复习：1.向量的数量积：2.勾股定理：a2+b2=c2.用向量方法证明：好处：不用做辅助线cosbabaCABbacABCc=？ab问题：（1）已知A,B,b,求a用正弦定理（2）已知A,a,b,求B,C用正弦定理（3）已知a,b,C两边一夹角确定三角形方法？ASA,AAS,SAS,SSSABCc=？ab探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.22||||ABCBCA22||||2||||cosCBCACBCAC2222coscababC222CBCACBCA思路1：依条件可知，||,||,CBaCAbABCBCA222coscababCABCc=？ab探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.222coscababCD思路2：作AD⊥BC于D∵在Rt△ADC中，CD=bcosC∴BD=a-bcosC又∵AD=bsinC∴在Rt△ADB中，c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C=a2+b2-2abcosC如图所示建立直角坐标系，点A，B的坐标分别是什么？根据两点间的距离公式可得什么结论？CABabxyA(bcosC，bsinC)B(a，0)2222coscababC=+-探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c.2222coscababCABCc=？ab2222222cos2cosabcbcAbacacB同理可得三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC用法：知两边及其夹角求三角形的第三条边.222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab用法：知三边求三角形的三个角.例1、在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o，解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：∵a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82∴a≈41(cm)故由正弦定理可得.5440.041656.0344141sin34sinsinaAcC∵ca，故C是锐角∴利用计算器可求得C≈33°∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°例2、在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。解：2222228781617134605543228781617...cos...bcaAbc∴A≈56°20′22222213461617878083982213461617...cos...cabBca∴B≈32°53′180180562032539047'''()()CAB利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；（2）已知三边，求三个角.练习：在△ABC中（1）已知b=8，c=3，A=60o，求a；（2）已知a=，c=2，B=150o，求b；（3）已知a=2，b=，c=，求A.332317745o三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。bcacbA2cos222中，在ABC为直角；Aacb222为锐角；Aacb222为钝角Aacb222CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理余弦定理好处：不用判断解个数与勾股定理联系？P6在△ABC中,若a=5、b=7、c=9，判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.算最大角的余弦值学案P38达标2在三角形的六个基本元素中，已知哪三个元素可以解三角形？针对上述类型，分别用哪个定理求解为宜？已知一边两角：正弦定理；已知两边及夹角：余弦定理；已知两边及对角：正弦定理；已知三边：余弦定理.ASA,AAS,SAS,SSS例3、已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.解：由余弦定理得2222cosbacacB2227828cos60cc28150cc整理得35cc解得或练习：已知在△ABC中，a=1，b=，B=60o，求c.7c=3解方程思想（1）知两角及一边先求第三角，再用正弦定理求另外两边.（2）知两边及其中一边的对角：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边；②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角.（3）知两边及其夹角先用余弦定理求第三边，再求剩下两角.（4）知三边用余弦定理求三个角.解题小结：特别地，第二种情况还需知道如何判断解的个数.在解三角形时，需由已知条件的不同，合理选用正、余弦定理求解，一般应注意以下四种情况：结合正弦定理，可作什么变形？2222coscababC=+-222sinsinsin2sinsincosCABABC=+-1、在△ABC中，已知a=，c=cm，B=45o，解三角形（保留根号）.2、在△ABC中，已知a=，b=c=，解三角形（保留根号）。32+6223222+64.在△ABC中，判定△ABC的形状．(1)cosA∶cosB=b∶a，(2)a=bcosC3.求三角形面积.,1,3,30求三角形面积中，acAABCo作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长。ABCD作业：△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长。解：∵∠B＝60o，∠ADC＝150o∴∠BDA＝30o，∠BAD＝90o，∵BD＝2∴AB=2sin30o=1，AD=2sin60o=3222cosACADDCADDCADC31231cos1507ABCD