矩阵的乘法及求逆运算 最终版

矩阵的乘法及求逆的运算小组成员：王沛竣曾杨帆兰军卓磊曹诗瑶一、矩阵乘法的定义•并把此乘积记作()()ijijijAamsBbsnABmnCc设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵其中skkjiksjisjijiijbabababac122111,2,,;1,2,,imjn.ABC注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。温馨提醒1.乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.2.只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义.3.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.4.矩阵的乘法不满足交换律，而且不满足消去律，除非A和B可交换，即AB=BA。方程组的矩阵表示：111122133111213121222322112222333313233311322333axaxaxaaaxaaaxaxaxaxxaaaaxaxax对方程组111122133121122223323113223333(1)axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb记111213112122232233313233,,aaaxbAaaaxxbbxbaaa则方程组(1)可表示为.Axb二.矩阵的求逆一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使:AB=BA=I则称A为可逆阵，B为A的逆阵，记作1.BA一、逆矩阵的概念性质：(1)(2)(3)A、B均是同阶可逆阵，则(4)(5)(6)若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.(7)矩阵A可逆充分必要条件是11()AA111()kAAk111()ABBA11()()TTAA**AAAAAI0A1*1AAA逆矩阵求解方法一——伴随矩阵法逆矩阵求解方法二——初等变换法1()()AEEA行逆矩阵求解方法三——因式分解法12110-kKAAIIAAAAA若，即（）可逆，且有（I我们通过上式，求出）112340112300112000110001.0A例求下面矩阵的逆矩阵，已知：441123401123()001120001100001 00()0KIKAIA解：通过计算得，所以存在一个，使123=()()“()”AIIAIAIAAA把这里的（I）替换上式中的，得100000123411101010000012301110001000001200111000100000100011000010000  +......000001逆矩阵求解方法四——多项式法我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。222-1,530-33530.XXAIAAAIfxA例已知矩阵满足多项式试证明是可逆矩阵，并求其可且，即，逆矩阵。2       15530()33  AAIAAAII证：由，可得从而可知为可逆矩阵，并且11533112110153330123313AAI在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。逆矩阵求解方法五——解方程组法12.3221343A例求的逆矩阵,,AXAXI解：求可逆矩阵的逆矩阵则它满足123123(,,)1000,1,0001XXXXAXAXAX设，则1231,2,3iiiixXxix利用消元解法求（）1132353220111AX解得：逆矩阵求解方法六——准对角矩阵11220000,1,   2,00)iinnAAAAinA定义：形如是矩阵。(A称为准对角矩阵其求逆的方法：1122111111122221,,,000000000000nnnnnnAAAAAAAAA可以证明：如果都可逆，则准对角矩阵也可逆，且1400003200150000.5A例已知，求。解：112233112233325150000040AAAAAAA设111112233521111341 5  7AAA求得：111112213310004520000171700130000171710005AAAA所以逆矩阵求解方法七——恒等变形有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。611.1322312 2  AIAA例已知，求，其中解：恒等变形，得:666611AIAAAAAI1111111132231  22TTAAAAAAAA于是，因为是正交矩,又阵以,所,逆矩阵求解方法八——公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。11  abdbAcdcaA（1）二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若A=，则1111()()()()ijijiiijijEEEkEEkEkk初等矩阵求逆公式：（2）111000111101100011100011000100001AA对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵的逆矩阵为：（3）1TAA正交矩阵的求逆公式：（4）1111111111111231221()()()(*)()*,,,,()TTSSSABBAAAAAAAAAAAAAAAAA其他常用的求逆公式：可逆，则（5）