矩阵的分解

矩阵的分解及其应用内容简介矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用.矩阵分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩及其特征值和特征向量的等；（2）第二章的主要内容是矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解的具体方法；（3）第三章的主要内容是第二章中研究过的四种矩阵分解方法的具体应用.第一章矩阵（1）矩阵的概念（2）矩阵运算（3）矩阵的初等行变换与矩阵的秩（4）逆矩阵的概念第二章矩阵的分解矩阵的三角分解定义2.1.1如果方阵可分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，则称可作三角分解或分解.如果是单位下三角矩阵，为上三角矩阵，此时的三角分解为杜利特（Doolittle）分解；若是下三角矩阵，而是单位上三角矩阵，则称三角分解为克劳特（Crout）分解.定理2.1.2设为阶方阵，则可以惟一地分解为的充分必要条件是的前个顺序主子式.其中分别是单位下、上三角矩阵，是对角矩阵,ALUALULUULAnALDUAA1n)1,,2,1(0nkkUL,D),,,(21ddddiagDn1kkkd,,,2,1nk.10矩阵的QR分解定义2.2.1如果复（实）矩阵可分解成一个酉（正交）矩阵与一个复（实）的上三角矩阵的乘积，即则称上式为矩阵的一个分解.定理2.2.1任何实的非奇异阶矩阵可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积，且除去相差一对角元素之绝对值全等于1的对角阵因子外，分解式是惟一的.AQRQRAQRAnAQRDQRA矩阵QR分解的求法（1）Schmidt正交化法（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵（3）用初等反射矩阵左乘矩阵AA矩阵的满秩分解定理2.2.4设矩阵，.如果存在一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵使得则称上式为矩阵的一个满秩分解.nmnmCA)0(rrrankA)(rrankCCCrm)(rrankDCDnrCDAA满秩分解的步骤用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解的步骤：（1）对施行初等行变化为行最简形，得矩阵；（2）若中的列依次是单位矩阵的第列，则取；（3）最后得.A0DBDnrDriii,,,21rIr,,2,1CDA],,,[21raaaC矩阵的奇异值分解定义2.2.5设，的特征值为则称为的奇异值；当为零矩阵时，它的奇异值都是0.nmrCAAAH0121nrr),,2,1(niiiAA定理2.2.6设，则存在阶酉阵和阶酉矩阵，使得（2-2-5）其中，而为矩阵的全部非零奇异值.改写式（2-2-5）为（2-2-6）称式（2-2-6）为矩阵的奇异值分解.)0(rCAnmrmUnV000AVUHrdiang,,,21),,2,1(riiAHVUA000奇异值分解的步骤（1）求的特征值，并求其对应的特征向量，将其单位化为从而得正交矩阵；（2）求的秩，奇异值及（3）计算，从而得正交矩阵；(4)的奇异值分解为AAT),,2,,1(nii),,2,1(nii),,2,1(niiVAr),,2,1(niiirdiag,,,21),,2,1(1niAiiiUTVUA000矩阵分解的应用例1求矩阵的分解与分解.解：因为，所以矩阵的与分解存在.令2010052412120425ALULDU1,1,5321ALULDUAAaaaaaaALA)0()0()0(11)0(41)0(11)0(31)0(11)0(21)0(1)1(1000105415211001011AAaaaaALA)1()1()1(22)1(42)1(22)1(32)1()2()2(10501201011001010120100595201525100425320021001525100425于是得到AAaaALA)2()2()2(33)2(43)2(3)3(1200100101100100101700021001525100425125001254001520001131211LLLL)3(AU从而求出的分解及分解分别ALULDU700021001525100425125001254001520001LUA10002100521005452170000100005100005125001254001520001LDUA例5用初等反射矩阵求矩阵的分解.解：对的第一列，构造初等反射矩阵如下：令，则对的第1列，构造初等旋转矩阵如下：230111140AQRATTTebbebbuebbb)0,1,1(21,)0,1,1(,)0,1,0(1)1()1(1)1()1(1)1()1()1(10000101021TuuIH.2301401111AH2314)1(A令，则最后，取则有且TTTubbbe)3,1(101,)3,1(,)3,4(1)2()2()2(43345122TuuIH.10125)1(2AH5405353054010112HHS100250111,5453000153540RSQTQRA谢谢老师！