矩阵的基本运算

1、运算定义&运算规则2、矩阵应用举例§2.2矩阵的基本运算例如9348314736521与为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应的元素相等,即,,,2,1;,,2,1njmibaijijijijAaBb与则称矩阵A与矩阵B相等，记作BA1、运算定义&运算规则设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即矩阵的加法注只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.1013859169504333281111147446191035189190654338321mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111矩阵加法的运算规律设ABC都是mn矩阵则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)设矩阵A(aij)记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵；333101321222654123321222654123另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如(3)A=A+O=O+A矩阵的数乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.(1)1;AA(2)()();AA(3)();AAA(4)().ABAB矩阵数乘的运算规律矩阵乘法把此乘积记作是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵CAB其中(),ijCc设是一个m×s矩阵,()ijAa(),ijBb11221sijijijissjikkjkcabababab(1,2,;1,2,,)imjn例如222263422142C221632816?求AB.101211300514A例若034121311121B解34,ijAa因43ijBb,33.ijCc故121113121430415003112101ABC.567102621710注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如不存在.乘积AB维的关系nmAsnBsmC=——A可左乘B的可相乘条件.练习计算下列矩阵的乘积，并观察结果.33341121415802110137341214580210137344411214158021101371341214580210137123321132231.10注两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数.11112122122212ssnnnnsnnnsaaaaaaaaa111112112212222212ssnnnnnnsnsaaaaaaaaa11121121222212nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa111212112122221122nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa1122nnnnnnababab1122nnnnababab结论两个n阶对角阵之积仍为n阶对角阵.结论两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.注矩阵乘法不满足交换律,即(1)()()ABCABC结合律:(2)()ABCABAC分配律:＋(3)()()()()ABABAB其中为常数(4)AEEAA(左乘分配律)(右乘分配律)()BCABACA＋矩阵乘法的运算规律BAAB例如设,1111A1111B则0000AB2222BAABBA两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？(1)AB有意义，但BA没意义；(2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.结论在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序“左乘”&“右乘”但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB定义满足AB=BA的矩阵称为可交换的.结论两个同阶对角矩阵是可交换的.EA=AE=A结论n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即证明设为任意n阶矩阵,则有ijnnAa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa111EAijnnaA111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa111ijnnaA注矩阵乘法不满足消去律，即,0ABACABC不能推出例如设,1111A,1111B2222C有,0000AB0000AC则,ABAC但是BC注该例也说明000ABAB不能推出或注此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当.即mmnmnnEAAE并且若A是n阶方阵,则Ak为A的定义(方阵的幂次)的k次幂,即定义(方阵的多项式),kkAAAA个,(,)kmkmkmmkAAAAAmk为正整数,ABBA当时222(1);(2)2.kkkABABABAABB1110()kkkkfxaxaxaxa1110()kkkkfAaAaAaAaE注显然只有方阵的幂才有意义解1001.00kAA设,求例2101001010000A22221020023222211002010000AAA32323330300由此归纳出121120200kkkkkkkkkkAkk用数学归纳法证明:假设k=n时成立,则k=n+1时,1nnAAA12111020010000nnnnnnnnnn1001.00kAA设,求例121120200kkkkkkkkkkAkk解归纳出所以对于任意的k都有121120.00kkkkkkkkkkAk11111120100nnnnnnnnnn1nnAAA12111020010000nnnnnnnnnn转置矩阵（transpose）把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作.AA或例122,458A186,B1425;28TA18.6TB转置矩阵的运算规律(1)();(2)();TTTTTAAABAB(3)();(4)().TTTTTAAABBA转置运算对乘积的去括号法则解1例已知171201,423,132201AB().TAB求171201423132201AB因为01431713100171413.310TAB故解2TTTABBA1422172003131120171413.310定义(对称阵)设A为n阶方阵,如果满足(,1,2,,)ijjiaaijn，那么A称为对称阵.即TAA.A为对称阵例如6010861612注对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等..TAAA如果则矩称为反对称矩阵阵由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即aii=0014105450B是3阶反对称矩阵.例如证(2)TTTHEXX因为22(2)TTHHHEXX例设列矩阵12,,,TnXxxx1,TXX,2,TEnHEXX为阶单位矩阵证明满足,.THHHE是对称矩阵且2()TTTEXX2TEXXH.H所以是对称矩阵44()()TTTEXXXXXX44()TTTEXXXXXX44TTEXXXXE.:nA对于任意的阶矩阵证明例证(1)()()()TTTTTAAAA()()()TTTTTAAAA(2),TCAA设(1),.TTAAAA是对称矩阵是反对称矩阵(2).A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和TTAAAA()TTAAAATBAA22TTAAAAA则,22CB命题得证.显然C为对称矩阵,B为反对称矩阵.2、矩阵应用举例例（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原点O经逆时针方向转过角α后成为Ox'y'(如图)，任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为和,它们有如下关系：xOx′y′yAα'cos'sin'sin'cosxxyyxy写成矩阵形式，记为cos''sinsincosxyxyxy''xy过渡矩阵例（线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即Ax=b则线性方程组可被表示成等价的矩阵形式：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa12,nxxxx若记12,mbbbb系数矩阵作业P34.10P65.2-1,2-2(2)(3)(4)(6)2-7