矩阵的特征值与特征向量

说明1.0,.特征向量特征值问题是对方阵而言的2.,0,|0.nAIAxIAA阶方阵的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程|的都是矩阵的特征值,,,.1AnnAAA设是阶矩阵如果数和维非零列向量使关系式成立则称这样的数称为非零向量称方阵的特征值的对应于特征值的定为特征向量义一、矩阵的特征值3.0IA1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa2---0.AnIAAIAnAIAA为阶矩阵，称为的,其行列式||为的次多项特征矩阵特征式，称为的，||称为多项式特的定征方程义-0-0iiAIInnAAAA1.由定义得，是的特征值，等价于是其特征方程||的根，因此又特称为的.若是||的重根，则称为征根重特征的值(根).说明说明2-)IAx.方程(0的任意非零解向量，都是对应于的特征向量.3.0.AAIAIAI的也可以表示为；也可以表示为||；也可以表示为特征矩阵特征多项|特征|式方程4.00.AAIAAIx求的特征值就是求||=的根，求的相应于的特征向量就是求||的非零解向量求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.解例.3113的特征值和特征向量求A的特征多项式为A31131)3(2)2)(4(682.4,221的特征值为所以A,00231123,2211xx对应的特征向量应满足时当.0,02121xxxx即,21xx解得.111p取为所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212xxxx即由时当1221,.1xxp解得所以对应的特征向量可取为112(0)kpk故相应于的全体特征向量为124(0)kpk故相应于的全体特征向量为例设,314020112A求A的特征值与特征向量．解211020413AI,2)1(202)1(2令.2,1321的特征值为得A11,0.AIx当时解方程由111101030010,414000~AI,1011p得基础解系的全体特征向量为故对应于11).0(1kpk232,20.AIx当时解方程由4114112000000,411000~AI得基础解系为,401,11032pp:232的全部特征向量为所以对应于).0,(323322不同时为kkpkpk0100100030010012.AAyyA设，若是的一个特征值，求：及的其他特征值例100100||0010012AEy解设2(1)[()(2)1]y2(1)(1)[(2)21].yy233(2)210Ayy因为是的一个特征值，所以必为的根，2y由此求得2(2)21011,1,1,3.yyA及的另一根，故的全部特征值为例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x(1).mmAm是的特征值是任意正整数.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明xAx1xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明(1).mmAm是的特征值是任意正整数例设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),且A的特征值都是1,证明:A=I.由于A的特征值都是1,这说明-1不是A的特征值,即|A+I|0.因而I+A可逆.(I+A)-1即可得A=I.在(I+A)(I-A)=0两端左乘由A2=I可得(I+A)(I-A)=0,证明例试证的充分必要不可逆阶矩阵是奇异矩阵)(n有一个特征值为零。条件是A证：必要性如果A是奇异矩阵，则|A|＝0。于是00AIA即0是A的一个特征值充分性：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为x.由特征值的定义有：)0(00xxAx　　　齐次线性方程组有非零解，由此可知|A|＝0，即A为奇异矩阵.亦可叙述为：的充分必要条件可逆阶矩阵是非奇异矩阵)(n。的任一个特征值不为零是AT1.AA矩阵与其转置矩阵具有相同定的特征值理证明即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值.二、特征值与特征向量的性质TT()AIAI=TT|||()|AIAIAI|=|1i1||1(1,2,...,)||1(j1,2,...,)||1(A).nijjnijAnainan为阶矩阵，若或者，则为2的特征值定理。线性无关则各不相等向量。如果依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设mmmmxxxxxxmA,,,,,,,,,,,,,,21212121证明:使设有常数mkkk,,,21.02211mmxkxkxk则,02211mmxkxkxkA,0222111mmmxkxkxk类推之，有.0222111mmkmkkkxkxkx1,,2,1mk定理3：可得由iixAx把上列各式合写成矩阵形式，得11221112211111,,,mmmmmmmxkxkxk0,,0,0于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i,0,,0,0,,,2211mmxkxkxk.,,2,10mjxkjj即,0jx但.,,2,10mjkj故.,,,21线性无关所以向量组mxxx注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,,,2121AxxAxxAx21,xx21,021x,021由于,0x则.与定义矛盾11112,,,,,||nnniiiiniiinAnaA设是阶方阵的个特征值则定理4说明１.在复数范围内，n阶方阵A一定有n个特征根，其中可能有重根和复根.２.定理4表明，全部特征根的和与A的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于|A|.当detA=0时,A至少有一个零特征值.3.当detA0时,A的特征值全为非零数4:det3IA0,2I,det0,.TAAAAA例设阶方阵满足条件求的一个特征值det0,.det(3)0AAAI因为故可逆由知解,3的一个特征值是A11.3是A的一个特征值2det()det(2)16,TTAAIAAI又由得即,4det,0det,4det,16)(det2AAAA因此但于是.34有一个特征值为故A