矩阵的特征值和特征向量

2020/2/815.1矩阵的特征值和特征向量2020/2/825.1.1特征值和特征向量的基本概念定义设A为数域F上的n阶矩阵,如果存在数lF和非零的n维列向量X,使得AX=lX就称l是矩阵A的特征值,X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.注意:特征向量X0;特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.2020/2/83AX=lX根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性方程组(lI-A)X=0有非零解的l值.即满足方程det(lI-A)=0即的l都是矩阵A的特征值.因此,特征值是l的多项式det(lI-A)的根.0-AIl2020/2/84AX=lX,det(lI-A)=0(5.2)定义设n阶矩阵A=(aij),则111212122212()det()(5.3)nnnnnnfIAaaaaaaaaalllll----------称为矩阵A的特征多项式,lI-A称为A的特征矩阵,(5.2)式称为A的特征方程.2020/2/85显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.2020/2/86例211402324A--1121X2213X-解1211140223241AX--363113231X22112402132413AX---624--验证：是否为A的特征向量21,XX2020/2/87注1nn非零维向量X是阶方阵的的充分必要条件是：AX向量与X线特征向量A性相关。注20kXAkAll（）如果X是矩阵的对应特征值的特征向量，则也是的对应特征值的特征向量。注3如果是A对应于特征值的特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。21,XXl)0(22112211XkXkXkXkl2020/2/88注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的120XAXXAXXll，，120XXll-1200Xll-（）X120ll-注4如果是A对应于特征值的线性无关特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。21,XXl)0,(212211不全为kkXkXkl2020/2/89例求下列矩阵的特征值和特征向量3113A--解A的特征多项式为3113ll--22(3)168lll---(2)(4)ll--A的特征值为122,4ll12l当时，12110110xx--121200xxxx--12xx即111X对应的特征向量可取为2020/2/81024l当时12110110xx12110110xx----12xx-对应的特征向量可取为211X-A属于的全部特征向量：)0(111KXK2lA属于的全部特征向量：)0(222KXK4l2020/2/811例求矩阵110430102A--2110det()430(2)102IAllllll------(-1)的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为A的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).2020/2/812当l1=2时,由(l1I-A)X=0,即12331004100,1000xxx---得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.2020/2/813当l2=1时,由(l2I-A)X=0,即12321004200,1010xxx----得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.2020/2/814例求矩阵的特征值和特征向量211020413A--解A的特征多项式为211230041IAllll------21(2)43lll---22(2)(64)(2)(2)llllll------A的特征值为2(1)(2)ll-1231,2lll-2020/2/815110AIl-当时，解方程（）X111030414AI--314rr-23r111010030--12rr-323rr101010000-得基础解系1101TX（，，）111110kXkl-对应于的全部特征向量为（）23220IAll-当时，解方程（）X4112000411IA-----31rr-11/41/4000000--2140X3104X得基础解系232ll对应于的全部特征向量为2233230kXkXkk（，不同时为）2020/2/816例主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22)...(l-ann),故A,B的n个特征值就是n个主对角元.2020/2/8172、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,...,ln.则00AA推论是的特征值5.1.2特征值和特征向量的性质1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.;)1(221121nnnaaalll.)2(21Anlll2020/2/818矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3、若l是矩阵A的特征值,X是A属于l的特征向量,则(i)kla是kA+aI的特征值(k,a是任意常数),(ii)lm是Am的特征值(m是正整数);(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;(iv)当A可逆时,detA/l是A*的特征值.且X仍是矩阵kA+aI,Am,A-1,A*的分别对应于特征值kla,lm,1/l,detA/l的特征向量.2020/2/819证已知AX=lX(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),这是因为(kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,X是kA的属于特征值kl的特征向量.(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),即A2X=l2X再继续上述步骤m-2次,就得AmX=lmX.(iii)当A可逆时,l0,由AX=lX可得A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X因此A-1X=l-1X故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1对应于l-1的特征向量2020/2/8204、矩阵A和AT的特征值相同.证因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT所以det(lI-A)=det(lI-AT)因此A和AT有完全相同的特征值.1212nnaaaaaa5、对角矩阵的全部特征值是，，，。2020/2/821定理1,,mm1mXAXXXll1设是矩阵的特征向量，它们顺次对应的特征，，，，值互不相同，则线性无关。设阶方阵A有互不相同的特征值，(λiI–A)x=0的基础解系为则；；……；线性无关nmlll,,,21),,2,1(,,,21miiiriiaaa111211,,,raaa222221,,,raaammrmmaaa,,,21推论6、设A为n阶方阵，,若λ为A的特征值，则是f(A)的特征值7、设λ为A的k重特征值,A关于λ的线性无关的特征向量的最大个数为s，则1sk(矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）mmxaxaaxf10)(mmaaaflll10)(2020/2/822例设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求：(1)A对角线上元素之和；(2)|A|；(3)|A2+A+I|解设A=(aij)由定理知(1)a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3=1+2+3=6(2)|A|=λ1λ2λ3=1×2×3=6(3)因A的特征值为1，2，3，设f(x)=x2+x+1,由性质知A2+A+I的特征值:1+1+1=3，22+2+1=7,32+3+1=13再由性质知|A2+A+I|=3×7×13=273（|A-1+2A+A*+I|？）例如果A是一个三阶方阵，且A3-3A+2I=0，求|A|