矩阵的相似变换

矩阵的相似变换一特征值与特征向量二二特征值与特征向量的性质三相似矩阵的相关概念四对称矩阵的对角化一特征值与特征向量1.1定义设A是一个n阶的方阵，若对数，存在非零n维向量x，使Ax=x成立，则称是A的特征值，x是A的属于的特征向量。注1特征值问题是对于方阵而言的。注2特征向量必须是非零向量1.2特征值与特征向量的求法（1）若A=为具体矩阵(即具体给出)求解步骤为：xnnija)(nnija)(nnija)(第一步：求出方程的所有根，即为A的全部特征值第二步：对每个不同的，解其次方程组(A=0，求出一个基础解系即为A的属于的线形无关特征向量。则为A的属于的全部特征向量。注1称为A的特征多项式，其为的n次多项式。称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根）,,,,21ikiiinnija)(0IAn,,21i)Iiiikiikiittt2121iIA)(f0)(IAf所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值的重数称为的代数重数，记做注2方程组的解空间称为A的属于的特征子空间，而把dim称为的几何重数，记作注3特征值的几何重数与代数重数满足1.3设A为n阶方阵，A的n个特征值对应的特征向量为又设f()为一多项式，则f(A)的特征值为f(),i=1,2,3…..n且所对应的特征向量xi也同时为f()所对应的特征向量。m0)(xIA)(IAN)()(IAIANrnmm1n,,21nxxx,,,21iii典型例题分析1）特征值于特征向量的计算例1求A=的全部特征值和对应的特征向量所以A的全部特征值为122212221121211221)5(122212221IA2)1)(5(100010221)5(1,53,21当可知所以就可写成令的基础解系就是矩阵A对应于的特征向量，全部特征向量为当时所以可写51000110211~660660422~224242422~422242224IA10xIA)(100232321xxxxx12xT1,1,11151)0(111kk13,2000000111~2222222222IA0xIA)(2如下形式取得取得均为A的二重特征值的特征向量，全部特征向量为其中不全为零0321xxx0,132xxT0,1,11,032xxT1,0,132,13,23322kk32,kk二特征值与特征向量的性质2.1设是方阵A的互不相同的特征值，是分别与之对应的特征向量，则线性无关2.2属于同一特征值的特征向量的任意非零组合仍是属于的特征向量2.3设n阶方阵A的n个特征值为，则n,,21nxxx,,,21nxxx,,,21n,,,21)(11AtrniiiniiAnii1注1若是A的分别属于特征值的特征向量，，则不是A的特征向量注2若，u分别是A，B的特征值，则未必是A+B的特征值，也未必是AB的特征值注3A与有相同的特征值，但特征向量未必相同注4正交阵A的特征值只能是1或-121,21,2121TA三相似矩阵的相关概念3.1定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使，则称A相似与B。3.2基本性质自反性：A与A相似；对称性：A相似与B，则B也相似与A；传递性：A相似与B，B相似与C，则A相似与C3.3相似矩阵的性质BAPP1若，即A相似与B，则（1）BAPP1BA(3)IBIA(2))()(BAtrtr(4)IBIA从而A与B有相同的特征值(5))()(BArr。四对称矩阵的对角化4.1n阶矩阵A可对角化的条件(1)A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量（2）若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化注这是充分而非必要条件（3）A可对角化的条件是对A的任一特征值，有m4.2对角化的方法（1）求出A的所有的特征值其中互不相等的特征值为(rn).(2)若A可对角化，则k重特征值必对应k个线形无关的特征向量,求出每一个齐次方程组(k=1,2,…,r).的基础解系，合并后必可得到A的n个线形无关的特征向量（3）令p=则P可逆，且有或注P的每一列的排列序应与中对应的的排序相同n,,,21riii,,,210xA)(krn21,,,n21,,,n21APP11PPAi4.3实对称矩阵的正交对角化设A为实对称矩阵，则有(1)A的特征值都是实数；(2)A的不同特征值对应的特征向量正交(3)A可正交对角化，既存在正交阵Q使其中diag是A的特征值注注正交阵Q的求法对A的k（k1）重特征根，将求出的的基础解系正交化,这样合并后得到的n个特征向量AQQQQT1A),,(21nn,,,21n21,,,不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个单位化,则可得到标准正交特征向量组令Q=,则Q为正交矩阵,且满足iin,,,21n,,21QQTA