矩阵论 第四章

GraduateEngineeringMathematics同济大学数学系2009-3-22工科研究生数学--矩阵论第4章内积空间吴群同济大学数学系[e-mail]4.1实内积空间定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，2若a,bV,存在唯一的rR与之对应，记作(a,b)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性GEM3定义内积babaT2211),(+++nnyxyxyx,),,,(T21nxxxaT21),,,(nyyyb},,,|),,,({TRxxxxxxRnnn2121例.线性空间称为内积空间的标准内积。nRGEM4定义内积babaAT),(,),,,(T21nxxxaT21),,,(nxxxbA为n阶实正定矩阵，},,,|),,,({TRxxxxxxRnnn2121例.线性空间GEM5定义内积aadxxgxfgf)()(),(例.线性空间C[a,b]，f,g∈C[a,b]GEM6由定义知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)GEM向量长度,Cauchy-Schwarz不等式),(aa定义.设V为实内积空间，称为向量a的长度，记作||a||。定理.设V是实内积空间，a,bV,kR，则；当且仅当且00||||,0||||)1(aaa；||||||||||)2(aakk||,|||||||),(|)3(baba等号成立当且仅当a,b线性相关；。||||||||||||)4(baba++Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性GEM8niiniiniiiyxyx12121)1(例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2(22GEM向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知,1|||||||||),(|1baba可用，中的结论对比nR|||||||||),(|,cosbababa.,baba在内积空间中的夹角与定义GEM向量的正交定义.设V是实内积空间，a,bV,若(a,b)0,则称a与b正交，记作ab。),(||||2bababa+++由知22||||),(2||||bbaa++a与b正交222||||||||||||baba++这就是实内积空间中的勾股定理。GEM11向量a与b在该基下的坐标为的一个基，维实内积空间是，，设Vnnaaa,21,),,,(T21nxxxxT21),,,(nxxxy,2211nnxxxaaaa+++nnyyyaaab+++2211GEM12),(),(22112211nnnnyyyxxxaaaaaaba++++++ninjjiiiyx11),(aannnnnnnnyyyxxx2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,,(aaaaaaaaaaaaaaaaaaAyxTGEM度量矩阵矩阵A称为基的度量矩阵。AAT),(),(1221aaaa),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnAaaaaaaaaaaaaaaaaaa即A为实对称矩阵。0),(aaAxxT即A为实正定矩阵。GEM,,,,;,,,2121nnbbbaaa定理：设内积空间V的两个基是：BAPPT它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，即存在可逆矩阵P，使得其中可逆矩阵P是由前组基到后组基的过渡矩阵。GEM4.2标准正交基的一组非零向量，是实内积空间，，定义：设Vsaaa,21若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。的一个正交向量组，维内积空间是，，若Vnnaaa,21的一个正交基。则称其为VGEM16的一正交基，是实内积空间，，定义：设Vnaaa,21的一个标准正交基。则称其为V且其中每个向量的长度都是1，注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即),(),(2211inniixxxxaaaaaa+++yxT),(baGEMGram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程：设是内积空间V中线性无关的向量组，naaa,,,21，使得则V中存在正交向量组nbbb,,,21nnbbbaaa,,,,,,2121GEMGram-Schmidt正交化过程图解2222||||||||aaaa1212121(,)||||||||||||||||bababab12111(,)(,)babbb11ab222aab1b2b2a2a1112122),(),(bbbabab222aaa+2a1a上的投影向量在12aaGEM19令111222111121121112211;(,);(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrrbabababbbbababababbbbbbbbbnnbbbaaa,,,,,,212112,,,rbbb是正交向量组，并且则GEM112121211221,1rrrrrrrkkkkababbabbbb+++++(,)(,)ijijiiikbabbb记GEM或100101),,,(),,,(21122121rrrrkkkbbbaaa注意到K是可逆矩阵，因此nnbbbaaa,,,,,,2121KGEM12,,,rbbb是正交向量组下面用归纳法说明),),(),((),(11jikiiikikjkbbbbababb),(),(),(),(11jikiiikijkbbbbabba)1(kj),1(0),(kjijibb由归纳法假设可知0),(),(),(kjjkjkabbabb12,,,rbbb是正交向量组。即GEM矩阵A的QR分解推论1：n维实内积空间V必存在标准正交基。推论2：n维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V的一个正交基。推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R使得A=QR，称为矩阵A的QR分解。GEM24设A为n阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，),,,(21nAaaa100101),,,(211221nnnkkkbbbKnnn||||||||||||)||||,,||||,||||(212211bbbbbbbbbGEM25niiii1,||||bb记||||00||||||||0||||||||||||),,,(22211112121nnnnkkkAbbbbbb则QRAQRGEM26例:求矩阵A的QR分解，101011111AGEM4.3正交子空间定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;(2)若aW,bU,都有(a,b)=0,则称W与U正交，记作WU;(3)若WU，并且W+U=V,则称U为W的正交补。注意：若WU，则W与U的和必是直和。GEM正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且W},|{VWWaaa;},0{)1(.WVW证再扩充的一个正交基取,,,,},0{)2(21reeeWW记的一个正交基为,,,,,,11nrreeeeV++nreeU,,1},|{VWUWUaaa且的正交补，是往证，GEM向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，,WWV于是，，其中有+WWVgbgbaa,,则称向量b为向量a在W上的正投影，称向量长度||g||为向量a到W的距离。WbOagGEM垂线最短定理定理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W||||||||aba上的正投影，则W,有并且等号成立当且仅当b=。，WWbba,，bba，abba+（勾股定理），222||||||||||||abba+||||||||aba即WbaGEM4.4正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换，若aV有),())(),((aaaaTT则称T为V的正交变换。),(||||aaa保持向量的长度不变；可看做等式TTT),())(),((aaaaGEM正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，保持向量的长度不变；即TTT),,())(),(()1(aaaa保持向量的内积不变；即TTT),,())(),(()2(baba则下列命题等价，的标准正交基，是Veeen,,,21的标准正交基；是VeTeTeTn)(,),(),()3(21,,,,)4(21AeeeTn下的矩阵是在标准正交基若EAAAT即是正交阵则,GEM33推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。11,2|A||A|EAAAT，则，即是正交阵设,,,,21AeeeTn下的矩阵是在标准正交基设正交变换或称为旋转变换；为第一类的正交变换，称时，则当T|A|1为第二类的正交变换。称时，当T|A|1),,,3,2()(,)(:11njTTjjaaaa定义例如，.,也称为镜面反射此时变换就是一个第二类的正交则TTGEMHouseholder变换TnEHR21||||,，用正交阵且例：设构造的正交变换nRnRHHaaa,)(讨论正交变换H的几何意义。GEM故H(a)是a关于子空间的反射，,,,,,WWRWn+gbgbaa其中设))(2(gba+TEHgbgbgggb||||0TT，注意到，WagbOg矩阵H称为Householder矩阵，变换H称为Householder变换，变换H也称初等反射变换。GEM36，且例：设||||||||,,,bababanR求一个初等反射变换H，使H(a)=b。只需求一个使得b是a关于子空间的反射，||||baba于是与ab平行，故可取GEM4.5复内积空间定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，37若a,bV,存在唯一的cC与之对应，记作(a,b)=c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a=0则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)GEM38定义内积babaT2211),(+++nnyxyxyx,),,,(T21nxxxaT21),,,(nyyyb},,,|),,,({21T21CxxxxxxCnnn例.线性空间称为复内积空间的标准内积。nCGEM39在复内积空间中还有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)||||),()7(a