3-4班第2讲

2020/2/8北京邮电大学电子工程学院1第一节集合代数和-代数定理1.1.3设是任一非空集合，G是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的-代数F0，满足：1.GF0；2.对包含G的任一-代数A，有F0A证明：构造F*=A，即所有包含G的-代数的交。GA下面说明这样构成的F*即为包含G的最小的-代数，F*=F0由构造性可知它不仅存在而且唯一。由于-代数的交仍为-代数，所以F*为包含G的-代数。由构造，则可知其最小性。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院2第一节集合代数和-代数定义1.1.3称定理1.1.3中的F0是包含G的最小-代数，或者是由G生成的-代数，记为(G)。例1.1.2设A，且A，A则，则包含{A}的最小-代数为。,,,AA三、Borel域设=R(1)，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类：G={(-,a],a∈R(1)}，称(G)为R(1)的Borel域，记为B(1)，并称B(1)中的元素为一维的Borel集。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院3第一节集合代数和-代数以上定义：(G)=B(1)，其中G={(-,a],a∈R(1)}∵(-,a]∈B(1)，(-,b]∈B(1)当ab，(-,b]\(-,a]=(a,b]∈B(1)另：1111,,1,BBnnbabanban，则：，有而：1,\,Bbabab2020/2/8北京邮电大学电子工程学院4推广情形：设为n维实数空间，考虑由的一些子集组成的集合类：第一节集合代数和-代数niRxxxxRinn,2,1,:,,)1(21)()(nR称(G)为上的Borel域，记作B(n)中。)(nRniRaainii,2,1,:,11G2020/2/8北京邮电大学电子工程学院5第一节集合代数和-代数四、单调类和-系、-系实际问题中要检验一个集合类是否为-代数比较困难，但把集代数与单调类结合起来讨论，会使问题简化。定义1.1.4设A由的一些子集组成的非空集合类，且满足：AA12121,nnnnAAAA,,nA，则以后表为，　1.若AA12121,nnnnAAAA,,nA，则以后表为，　2.若称A是上的一个单调类。容易证明，单调类的交仍是单调类。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院6第一节集合代数和-代数定理1.1.4设是任一非空集合，G是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的上的单调类0，满足：nkknnAB,,nA121，令证明：若A,,nBn21AA是集代数，则：1.若G02.对包含G的任一单调类A，有0A称这样的单调类0为包含A的最小单调类，记为(G)定理1.1.5-代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是-代数。AA121nnnB,,nB，则是单调类，且：又2020/2/8北京邮电大学电子工程学院7第一节集合代数和-代数定理1.1.6若A是集代数，则：(A)=(A)证明：-代数一定是单调类，(A)(A)因此只须证明(A)是一-代数。由于集代数+单调类-代数，所以只须证明它是集代数即可！1.A(A)2.若A，B(A)，有：A\B(A)2的证明如下：2020/2/8北京邮电大学电子工程学院8第一节集合代数和-代数证明：对任意的A(A)，作辅助集合类：A={B：B(A)，A\B，B\A(A)}若能证明对每一个A(A)，有：A=(A)即对差运算封闭，则得证。显然：A(A)只须证A(A)，即A为包含A的单调类2020/2/8北京邮电大学电子工程学院9第一节集合代数和-代数AA　　A不妨分三步加以说明：1.辅助集合类A为单调类2.当AA时，AA3.当A(A)，有：AA2020/2/8北京邮电大学电子工程学院101、首先证明A是单调类AnnnAnBBBA1，有：，且给定，欲证明：若设为单调类，而且，AnnnBAABB\\AAABBABBnnnAn\\，，且，则AA11\\nnnnBAAB，且AnnnnAnnnnBABAABAB1111\\\\，又：1nAnB2020/2/8北京邮电大学电子工程学院11ABB，有欲证：AAAABAAB\\，是集代数，有：AABABAAAA时，有：当2.当AA，有：AA2020/2/8北京邮电大学电子工程学院12AABB，有等价于：ABA而AAAAAA，即的结论有：，由2BAAAB，必有的构造，可知当：由BA即：3.当A(A)，有：AA2020/2/8北京邮电大学电子工程学院13第一节集合代数和-代数以上定理的证明可以看到有时验证集合类是包含某集代数的单调类比较困难，因此须引入-系、-系。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院14第一节集合代数和-代数有时验证某集合类是否为包含某集代数的单调类也比较困难，因此再引入-系、-系的概念，借助于-系、-系来判断某一集代数是否为单调类，从而进一步判断这个集合类是否为-代数，以保证该-代数中的每一个集合都是随机事件，那么该-代数即为概率函数的定义域。定义1.1.6设A由的一些子集组成的非空集合类，若：（-系是一个比集代数还要弱的概念）AABABA，有：，任意的2020/2/8北京邮电大学电子工程学院15第一节集合代数和-代数定义1.1.7设A是由的一些子集组成的非空集合类，若A满足：1.A；2.若A，BA，AB，有B\AA；则称A为-系。由以上定义可知：-代数一定是-系。AA1,2,1nnnnAAnA，有且，若3.2020/2/8北京邮电大学电子工程学院16第一节集合代数和-代数证明：第一部分：根据单调类的定义，只需证明：AAAnnAnA\,2,1必有：，系，则当为AA1,2,1nnnnAAnA，有且，若定理1.1.7若A是-系，则它是单调类；若A既是-系，又是-系，则它是-代数。AA1nnA系，有是再由A11\\\nnnnnAAA，且：2020/2/8北京邮电大学电子工程学院17第一节集合代数和-代数第二部分：欲证-系+-系-代数根据定理1.1.5：集代数+单调类-代数所以只须证明A是集代数即可。由-系的定义，只须说明：1.∈A2.若A，B∈A，A\B∈A而A\B=A\(A∩B)∵A∩BA，A-B∈A2020/2/8北京邮电大学电子工程学院18第一节集合代数和-代数定理1.1.8设A是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的-系A0，满足：1.AA0；2.对包含A的任一-系B，有A0B称A0为包含A的最小-系，记为(A)2020/2/8北京邮电大学电子工程学院19证明：由于-代数一定是-系，则(A)(A)根据定理1.1.7-系+-系-代数只需说明(A)为-系，即对有限交运算封闭。与定理1.1.6类似，对任意的A∈(A)，构造辅助集合类A={B：B∈(A)，A∩B∈(A)}（1.1.2）下面只需证明对每一个A∈(A)，说明A=(A)1.A为-系2.A是包含A的-系3.A是包含A的最小的-系，即A=(A)定理1.1.9若A是-系，则：(A)=(A)2020/2/8北京邮电大学电子工程学院20A（显然，(A)，∵A(A)，A∩=A(A)）若B，CA且BC，有B\CA由B，CA，有B，C(A)，且：对任意取定的A(A)，有A∩B，A∩C(A)；然而，A∩BA∩C，必有(A∩C)\(A∩B)(A)但：(A∩C)\(A∩B)=A∩(C\B)(A)则：C\BAAnnB1若BnA，n=1,2,…，且Bn，有：由BnA，则A∩Bn(A)，且(A∩Bn)AnnnnnnBBABA111，A1.欲证A为-系2020/2/8北京邮电大学电子工程学院21AA，只要证明对任意的BABA证明：由BA(A)，∵A(A)特别地，若AA，而A是-系，有：A∩BA(A)，则BA，则AA一般地，若A(A)，因为AA，有AA特别地对BA(A)，有BA即：B(A)，有BA由1.1.2的对称性，等价于结论：A(A)，有AA2.欲证A是包含A的-系2020/2/8北京邮电大学电子工程学院22相当于证明：A=(A)只需证明A(A)即可由A的构造，显然成立3.欲证A是包含A的最小的-系2020/2/8北京邮电大学电子工程学院23第一节集合代数和-代数定理1.1.10设A，B是由的一些子集组成的非空集合类，且BA1.若A为-系,B是-系，则：(B)A2.若A为单调类,B是集代数，则：(B)A证明1：由于BA，A是包含B的-系则A也包含B所生成的最小-系(B)，即A(B)而B是-系，由定理1.1.9：(B)=(B)则：A(B)证明2：略，见P6。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院24第一节集合代数和-代数五、乘积空间和乘积-代数自学，略2020/2/8北京邮电大学电子工程学院25第二节测度与概率一、测度及其性质首先引入集函数、广义测度和测度的概念。定义1.2.1设A是由的一些子集组成的非空集合类，若对每一个AA，有一实数或者∞与之对应，记为(A)，且至少有一AA，使其取有限值，称(A)是定义在A上的集函数。（集函数和普通的函数差别为定义域为集合类）。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院26第二节测度与概率则称在A上具有有限可加性，也称为A上的有限可加集函数。niiniiAA11AAniijiiAjiAAniA1,,,2,1且，若2020/2/8北京邮电大学电子工程学院27第二节测度与概率则称在A上具有-可加性，也称为A上的-可加集函数或广义测度。11iiiiAAAA1,,,2,1iijiiAjiAAiA且，若2020/2/8北京邮电大学电子工程学院28第二节测度与概率若对每一AA，(A)取有限值，则称为A上的有限集函数；若对每一AA，存在一集合序列{An}A，使：,2,1,1nAAAnnn，则称为A上的-有限集函数。2020/2/8北京邮电大学电子工程学院29若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测度；若集函数为-可加且只取非负值，则称为测度，用或表示；具有性质A且()=1的测度，称为概率测度或概率，用P表示。一般情况下取A为集代数或-代数，下面讨论集函数与测度的性质。第二节测度与概率2020/2/8北京邮电大学电子工程学院30第二节测度与概率定理1.2.1设为A上的集函数1.若是有限可加或-可加的，且A，则()=0；2.若是-可加的，且A，则是有限可加的；3.若A为集代数，有限可加或-可加，A,BA，且AB，则：ABAB