3-5极值与最值

一、函数单调性的判定定理1.设函数则在I上严格单调递增,)0)((xf(递减)在区间I上连续在区间I内可导,§3.4内容回顾设函数在区间I上连续在区间I内可导,则在区间I上严格单调递增(减)的充要条件为:(1)f(x)在I内()0(()0),xfxf(2)f(x)在I的任意子区间内()fx0若1定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线y＝f(x)上的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点2.凹凸判定法:(1)在I内则在I上图形是凹的;(2)在I内则在I上图形是凸的.在区间I上连续,在I内二阶可导若曲线或不存在,且)(xf在两侧异号,0x则点00(,)xy是曲线的一个拐点.若在某点x0二阶导数为0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,若在某点x0二阶导数不存在,则曲线的凹凸性不变.但连接x0的两个相邻的凹(凸)区间在其两侧二阶导数不变号,当…时,可以合并,但当…时,不可以合并.证明:()fx在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且证:当x∈(a,b)时,()(),fafb0(,)xab()0.fx()min(),().fxfafb则min(),()().fafbfa(反证)设使得,0()min(),()().fxfafbfa010()()()()fxfafxa+0≥1()0.f020()()()()fbfxfbx+0≤2()0.f21()()ff21()()f0≤矛盾.10(,)ax20(,)xb12(,)所以…不妨设+()0f二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法§3.5函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法1.定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.求函数极值的步骤与求函数单调区间的步骤是一致的例.求函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(或(,1],[2,);或[1,2].的极值极大值极小值极小值:极大值:注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)极值点不是端点.1)函数的极值是函数的局部性质.定理2(极值第一充分条件)0()Ux且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf2.极值的必要条件定理1(极值的必要条件)0()fx若是函数f(x)的极值,则0()0fx或0()fx不存在.3.极值的充分条件证明(略)(3))(xf“不变号”,0()fx则不是极值设函数f(x)在上连续,00()Ux例1.求函数的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x(0).f3)列表判别x)(xf)(xf05200)0,(),0(52),(52极大值为:极小值为:极大值极小值定理3(极值第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1))(0xf00)()(lim0xxxfxfxx0)(lim0xxxfxx,0)(0知由xf存在,0,00时当xx时，故当00xxx;0)(xf时，当00xxx,0)(xf0x0x0x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.(连续)例2.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.定理3*的推广:,0)(0)(xfn则:数,且1)当为偶数时,n是极小点;是极大点.2)当为奇数时,n为极值点,且不是极值点.证:是拐点.不是拐点.010()lim()nxxfxxx020()lim()nxxfxxx考查()0()(1)!nfxn()0()(2)!nfxnx=0是否极值点;(0,0)是否为拐点?极值的判别法(定理2,定理3及推广)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.另外不可导,由极值的第一充分条件得,为极小值.实际上为极大值.xy。．（）局部最大二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值maxM,)(af)(bf最小值(导数等于零的点和导数不存在的点)特别:•当在区间I上连续且只有一个极值点时,•当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)[3,1][2,4]x(1,2)x(3,1)(2,4)x(1,2)x例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且232,xx232,xx)(xf23x32x1231.5,1,2xxx故函数在x=-3处取得最大值20;在x=1,x=2处取得最小值0.(3),(1),(1.5),(2),(4).fffff2000.2506在[-3，4]的极值可疑点因此也可通过说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20AB100C解:设,(km)xADx则,2022xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky令得又所以为唯一的15x极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问DKm,公路,例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw得db31此时22bdhd32由实际意义可知,所求最值存在,驻点且只一个,故此时,抗弯截面模量最大.清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例6.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于x4.18.1解:设观察者与墙的距离为xm,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件(定理2)过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件(定理3)为极大值为极小值(4)定理3的推广…最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习(三个考研的选择题)2.连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.2.设)(xf在0x的某邻域内连续,且,2cos1)(lim0xxfx则在点0x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.3.设)(xfy满足042yyy若,0)(0xf且,0)(0xf则)(xf在)(0x(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:0)(4)(00xfxfA作业P1621(5),(9);2;3;5;10;14;15试问为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解:)(xf由题意应有)32(f2a又)(xf)(xf取得极大值为3)(32f备用题1.)32(3cos)32cos(a,3sin3sin2xx求出该极值,并指出它是极大上的在]1,0[)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1()().(limnMn解:)(xf,0)(xf令])1(1[)1(1xnxnn2.nxn)1(1)1(nxnxn,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1e1lim()1nnnn11nx问:(1)000()()()0,nfxfxfx解:020()lim()nxxfxxx00(,())xfx不妨设()0()0.(3)nfxn但是否为曲线y=f(x)的拐点?030()lim(2)()nxxfxnxx0(1)0()lim(2)!()nxxfxnxx=…(1)0()nfx()0()(2)!nfxn()0()0.nfx则有极限的保号性得,20()0.()nfxxx0,00(,),xUx恒有(1)当n为偶数时,()fx在x0的两侧不变号,所以不是拐点;(2)当n为奇数时,()fx在x0的两侧变号,所以是拐点.x0是否为极值点？3.010()lim()nxxfxxx不妨设020()lim(1)()nxxfxnxx0(1)0()lim(1)!()nxxfxnxx=…(1)0()nfx()0()(1)!nfxn()0()0.nfx则有极限的保号性得,10()0.()nfxxx0,00(,),xUx恒有(1)当n为偶数时,()fx在x0的两侧变号,所以x0是极值点;(2)当n为奇数时,()fx在x0的两侧不变号,所以x0不是极值点.x0是否为极值点？