协方差及相关系数

一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数})](){[()(2YXEYXEYXD}))](())({[(2YEYXEXE)]}()][({[2YEYXEXE})]({[})]({[22YEYEXEXE一、协方差与相关系数的概念及性质1.问题的提出)()(YDXD)]}()][({[2YEYXEXE那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YDXDYXD)]}()][({[YEYXEXE)]()()()([YEXEYXEXYEXYE).()()(YEXEXYE)()()()(2)(YEXEYEXEXYE那么相互独立和若随机变量,YX).()()(YEXEXYE.0)]}.()][({[),ov(C),,Cov(.)]}()][({[YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE即记为的协方差与称为随机变量量2.定义.)()(),Cov(的相关系数与称为随机变量而YXYDXDYXρXY})](){[()(2YXEYXEYXD})](())({[(2YEYXEXE)]}()][({[2YEYXEXE})]({[})]({[22YEYEXEXE).,Cov(2)()(YXYDXD)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX)]([)]([YEYEXEXE.0相互独立和若随机变量YX)3()]}()][({[2)()()(YEYXEXEYDXDYXD).()(YDXD相互独立和若随机变量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD3.说明.,)1(个无量纲的量它是一协方差的相关系数又称为标准和YX4.协方差的计算公式);()()(),Cov(YEXEXYEYX证明)]}()][({[),Cov(YEYXEXEYX)]()()()([YEXEYXEXYEXYE).()()(YEXEXYE)()()()(2)(YEXEYEXEXYE5.性质);,Cov(),Cov()1(XYYX;,,),Cov(),Cov()2(为常数baYXabbYaX).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX1.问题的提出??,,衡量接近的程度又应如何来最接近可使应如何选择问YbaXba]))([(2bXaYEe设.的好坏程度近似表达可用来衡量则YbXae.,的近似程度越好与表示的值越小当YbXae.,,达到最小使的值确定eba二、相关系数的意义).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE得并令它们等于零求偏导数分别关于将,,,bae.0)(2)(2)(2,0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得,)(),Cov(0XDYXb.)(),Cov()()(0XDYXXEYEa]))([(2bXaYEe得中代入将,]))([(,200bXaYEeba]))([(min2,bXaYEeba).()1(2YDρXY2.相关系数的意义.,,系较紧密的线性关系联表明较小较大时当YXeρXY.,,线性相关的程度较差较小时当YXρXY.,0不相关YXρXY和称时当]))([(200XbaYE例3?,),cos(,cos,]π2,0[的相关系数和求是常数这里的均匀分布服从设aa解,0dcosπ21)(π20xxE,21dcosπ21)(π2022xxE,0d)(cosπ21)(π20xaxE,21d)(cosπ21)(π2022xaxE,cos21d)cos(cosπ21)(π20axaxxE数为由以上数据可得相关系.cosa,,1,0时当a,,1,π时当a.存在线性关系,0,23π2π时或当aa.不相关与,122但.不独立与因此.的相关关系与动画演示单击图形播放/暂停ESC键退出(1)不相关与相互独立的关系3.注意相互独立不相关(2)不相关的充要条件;0,1oXYρYX不相关;0),Cov(,2oYXYX不相关).()()(,3oYEXEXYEYX不相关4.相关系数的性质.1)1(XYρ.1}{,:1)2(bXaYPbaρXY使存在常数的充要条件是证明]))([(min)1(2,bXaYEeba)()1(2YDρXY0012XYρ.1XYρ.1}{,,1)2(bXaYPbaρXY使存在常数的充要条件是1,XYρ事实上20000200))](([)]([]))([(0XbaYEXbaYDXbaYE,0)]([00XbaYD.0)]([00XbaYE由方差性质知.1}{00XbaYP或0]))([(200XbaYE,1}0)({00XbaYP使若存在常数反之ba,,1}{XbaYP.0})]({[2XbaYE]))([(min2,bXaYEba})]({[200XbaYE)()1(2YDρXY.1XYρ,1}0)]({[2XbaYP,1}0)({XbaYP故有})]({[02XbaYE.),,,,,(~),(222121相关系数的与试求设YXρσσμμNYX解2222212121212221)())((2)()1(21exp1π21),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf由,,eπ21)(21212)(1xσxfσμxX.,eπ21)(22222)(2yσyfσμyY例1.)(,)(,)(,)(222121σYDσXDμYEμXEyxyxfμyμxYXdd),())((),Cov(21而.ddee))((1π212112222121)1(212)(21221xyμyμxρσσσμxρσμyρσμx,1111222σμxρσμyρt令,11σμxuutuσρσtuρσσYXtudde)1(π21),Cov(2222122122tuuσρσtudedeπ22222122ttuuρσσtudedeπ212222122,22221σρσ.),Cov(21σρσYX故有.)()(),Cov(YDXDYXXY于是　　结论;,)1(的相关系数与代表了参数中二维正态分布密度函数　　　YXρ(2)对于二维正态随机变量，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的..),(的关系相关系数的概率密度曲面与　　二维正态随机变量XYYX单击图形播放/暂停ESC键退出.23,21),4,0(),3,1(,22YXZρNNYXXY设分别服从　　已知随机变量??)3(.)2(.)1(为什么是否相互独立与问的相关系数与求的数学期望和方差求ZXZXZ解.16)(,0)(,9)(,1)()1(YDYEXDXE由)23()(YXEZE得　　)(21)(31YEXE.31例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD),Cov(31)(41)(91YXYDXD)()(31)(41)(91YDXDρYDXDXY.3241)()(21)(31YDXDρXDXY.033.0))()((),Cov(ZDXDZXρXY故:,)3(可知立两者是等价的结论关系数为零和相互独由二维正态随机变量相.是相互独立的与ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX),Cov(21),Cov(31YXXX三、小结相关系数的意义.,,的线性相关程度较高较大时当YXρXY.,,的线性相关程度较差较小时当YXρXY.,0不相关YXρXY和时当