华西统计第六章

第六章总体均数的估计授课教师：朱彩蓉总体均数的估计均数的抽样误差与标准误t分布总体均数的估计为什么进行抽样？总体样本随机抽样推断均数的抽样误差概念：抽样引起的总体参数与样本统计量之间的差异称为抽样误差(samplingerror)。均数的抽样误差：抽样引起的样本均数与总体均数的差异称为均数的抽样误差。样本总体样本随机抽样100次样本样本100个样本2(4.5,0.2)N样本均数抽样误差样本1样本2样本k总体nnnnkXXX21kXXX21从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的均数样本号均数14.5724.4534.4344.4954.4864.5074.4984.5094.45....1004.49从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的样本均数的频数分布组段频数频率(%)累计频率(%)(4)4.38～1114.40～1124.42～3354.44～77124.46～1010224.48～2626484.50～2222704.52～1313834.54～88914.56～33944.58～55994.60～4.6211100.00合计100100——样本均数抽样分布的特点各样本均数未必均等于总体均数样本均数之间存在差异样本均数的分布规律:围绕着总体均数，中间多两边少，左右对称，基本服从正态分布样本均数的变异较原变量的变异范围小随着样本含量的增加，样本均数的变异范围逐渐缩小数理统计的中心极限定理从正态分布N(,2)中，以固定n抽取样本，样本均数的分布仍服从正态分布；即使是从偏态分布总体抽样，只要n足够大，样本均数的分布也近似正态分布；样本均数的总体均数仍为，样本均数的标准差为。X标准误(standarderror)样本均数的标准差称标准误,是说明均数抽样误差大小的指标，大，抽样误差大；反之，小，抽样误差小。标准误的计算：标准误的估计值：XnssnXXX影响标准误大小的因素的大小与成正比与样本含量n的平方根成反比XX频数分布图图4.12005年某市120名9岁男孩肺活量频数分布-4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.4标准正态分布N(0,1)t分布t分布的由来t分布的特征t分布曲线下的面积t分布的由来XZ变量变换总体),(2N样本均数~X~X),(2XN中心极限定理标准正态分布)1,0(N~z变量变换tsXX未知100n______XXZ如果抽取例数n=5的样本k个，每个样本又都可以按公式（6.3）计算出一个t值，可将k个t值编制成频数表，作出直方图，当k无限增大时，则可得到一条光滑的曲线。（式6.3）同理，如果抽取例数n=15时，仍能得到一条t分布曲线，因此，当n变化时，就可以得到不同的t分布曲线，如图6.4：nsXsXtX-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.415图6.4自由度分别为1、5、∞的t分布自由度随机变量能够自由取值的个数=n-限制条件的个数例：如求当，均数也为5时，随机变量X能自由取值的个数？1，2，3，45n4321,,,XXXX?5Xt分布的特征t分布是一簇单峰分布曲线。t分布以0为中心，左右对称且均匀下降。其形态变化与自由度的大小有关。自由度越小，则t值越分散，曲线越低平；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当=∞时，t分布即为标准正态分布。t分布曲线下面积规律t分布曲线下总面积仍为1或100%t分布曲线下面积以0为中心左右对称。由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是随自由度的大小而变化，如附表3。附表3，t分布表的特点附表3的横标目为自由度，纵标目为概率P，表中数值为其相应的t界值，记作t,。附表3只列出正值，若计算的t值为负值时，可用其绝对值查表。附表3右上附图的阴影部分表示t,以外尾部面积的概率。-4-202400.10.20.30.4单侧t0.05,30=1.697其通式为，单侧：P(t≤-t,)=或P(t≥t,)=双侧：P(t≤-t/2,)+P(t≥t/2,)=图中非阴影部分面积的概率为，P(-t/2,tt/2,)=1-总体均数的估计用样本指标估计总体指标称为参数估计，是统计推断的一个重要方面。总体均数估计的两种方法点估计：是直接用统计量估计总体参数.区间估计：由于抽样误差的客观存在，因而按一定的概率(100(1-)%)估计总体均数所在的范围(亦称可信区间)。点估计例：已知150例7岁男童的平均身高为123.8cm，标准差为4.7cm，试估计该地所有7岁男童身高的总体均数？答：该地所有7岁男童身高的总体均数为123.8cm。区间估计概念：即按一定的概率(100(1-)%)估计总体均数所在的范围(亦称置信区间)。1)(,2,2tttP1)(,2,2tsXtPX,2,2tsXtXXXstXstX,2,2置信区间的计算未知，且n小未知，但n足够大已知/2/2(,)XXXzsXzsXtsXtsXX/,/,22/2/2(,)XXXzXz例6.3：在某地成年男子中随机抽取25人，测得其脉搏均数为72次/min，标准差为8次/min。试估计该地成年男性脉搏总体均数的95%置信区间。=(68.7,75.3)次/分根据样本计算，可推断该地成年男性脉搏总体均数的95%置信区间为(68.7,75.3)次/分。(722.064*8/25,722.064*8/25)两总体均数差值的置信区间假设正态总体和，当，均未知，但时，则两总体均数之差()的双侧()置信区间为：其中，，当n1，n2均较大时，差值的可信区间为：1221111()cXXSSnn211(,)N222(,)N212222122111212/2,()XXXXtS)2()1()1(212222112nnSnSnSc221212/2,12()SSXXznn例6.5测定28例结核病患者和34例对照者的脑脊液中镁(mmol/L)的含量，结果见表6.5，试估计结核病人和对照者的脑脊液中镁含量的总体均数之差的95%置信区间。表6.5两对比组脑脊液中镁含量(mmol)组别例数均数标准差结核组281.040.17对照组341.280.14解：假定两组方差齐，根据公式6.7，6.8，6.9可得：所以两总体均数之差的95%可信区间为(0.16,0.32)mmol/L222(281)0.17(341)0.140.02428342cS122121111()0.024(4)030.0284cXXSSnn(1.281.04)2.0000.16LC(1.281.04)2.0000.32UC置信区间有两个要素准确度：反映在可信度(1-)的大小上，即可信区间包含总体均数的可能性大小，从准确度的角度看，愈接近1愈好，如可信度99%比95%好。精密度：反映在可信区间的长度上，即长度愈小愈好。在抽样误差确定的情况下，二者是相互矛盾的，若提高了可信度，可信区间势必增大，精密度下降。因此，需要同时兼顾准确度与精密度，一般情况下，常用95%可信区间。