数值分析期末复习资料

1数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。2、两点理解：（1）四舍五入的一定是有效数字（2）绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.3、定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、避免误差危害原则1、原则：（1）避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2=c/a）（2）避免相近数相减（方法：有理化）eg.或（3）减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、数值运算的误差估计1、公式：（1）一元函数：|ε*(f(x*))||f’(x*)|·|ε*(x)|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f(x*)）eg.P19习题1、2、5（2）多元函数（P8）eg.P8例4，P19习题4*(1)11102nra;xεxεxεx;1lnlnlnxεxεxxcos12sin22x2第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜…＜xn≤b的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式（P26（2.8））2、插值多项式表达式（P26（2.9））3、插值余项（P26（2.12））：用于误差估计4、插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、差商（均差）及牛顿插值多项式1、差商性质（P30）：（1）可表示为函数值的线性组合（2）差商的对称性：差商与节点的排列次序无关（3）均差与导数的关系（P31（3.5））2、均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36）两种解法：（1）用定义做：设P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2）牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14五、三次样条插值定义niyxPiin,,2,1,0)(3（1）分段函数，每段都是三次多项式（2）在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）（3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定i，解法方程组，列方程组求系数（注意i应与系数一一对应）eg.P95习题17形如y=aebx解题步骤：（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章数值积分与数值微分一、代数精度1、概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度2、计算方法：将f(x)=1,x,x2,…xn代入式子求解eg.P100例1二、插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。njyxSjj,,1,0,)(4三、牛顿-科特斯公式1、掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性2、定理：当n为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n次代数精度；当阶n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度3、在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即,kbaxakhhn，k=0，1，2，….n。则可构造牛顿-柯斯特求积公式:()()n00000(1)=b-a(),!()nnnknnnnnkkkkjjjkjkbatjICfxCdttjdthkjnknk（）！n=1时，求积公式为梯形公式：2babafxdxfafbn=2时，求积公式为辛普森公式：462babaabfxdxfaffbn=4时，求积公式为柯特斯公式：012347321232790babafxdxfxfxfxfxfx4、低阶求积公式的余项：梯形公式：2,,12TbaRbafab辛普森公式：44,,1802SbabaRfab柯特斯公式：662,,9454CbabaRfab5、复合梯形公式及余项（P106）1122nnkkhTfafxfb1210b-a,12nnnkkkkkRfIThfxx6、复合辛普森公式及余项（P107）121101426nnnkkkkhSfafxfxfb41410b-a,1802nnnkkkkkhRfISfxx5四、高斯型求积公式（书P117-120）1、定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk为高斯点。求积公式：21201,bbnnkkkkknkaafxxdxAfxAxdxxxx余项：222122!nbnnafRfxxdxn2、第五章解线性方程组的直接方法一、高斯消去法：利用增广矩阵二、LU分解Ly=b；Ux=y1、特点：L对角线均为1，第一列等于A的第一列除以a11；U的第一行等于A的第一行2、LU分解唯一性：A的顺序主子式Di≠0三、平方根法：;TLybLxy例题：用平方根法解对称正定方程组解：先分解系数矩阵A91096858137576321xxx6改进平方根法：1,,TALDLLybDLxy四、追赶法：A=LU，Ly=f，Ux=y11112222211111111nnnnnnnnnbcabcrAabcrab五、范数（误差分析）1、向量范数定义及常用范数i1inx=maxx范数（最大范数）：ni1i=11x=x范数：1n22i2i=12x=x范数：1pi=1px=x,1NPpiP范数：72、矩阵范数定义及常用范数nij1inj=1=maxaA范数（行范数）：nij11jni=11=maxaA范数（列范数）：max22=TAAA范数：1n22iji,j=1=aFFA范数：其中maxTAA表示半正定矩阵TAA的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容3、条件数条件数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即1condAAA的逆‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。所以当cound（A）1时，方程组Ax=b是病态的，否则称为良态4、条件数的性质：1()1.vAcondA、对任何非奇异矩阵，都有11()1.vvvvcondAAAAAI由定义20()()vvAccondcAcondA、设为非奇异矩阵且（常数），则22223()1()()().AcondAARcondRAcondARcondA、如果为正交矩阵，则＝；如果为非奇异矩阵，为正交矩阵,则n62361112n1123ilbert=1n+1111nn+12n-1cound=27cond748cond(H)=2.910()ncondH例：H阵H（H）（H）8第六章解线性方程组的迭代法一、迭代法：k10xkBxf迭代法收敛的两种判断方法：1、若A是nn矩阵，且满足iiijjiaa()iiijjiaa（1,2,,in…），则称A为对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。2、（非常重要）谱半径小于1收敛即：1max1iinA（谱半径越小，收敛速度越快）3、收敛性判别条件：1)SOR迭代法收敛的必要条件：SOR迭代收敛，则0〈W〈2。2)SOR迭代法收敛的充要条件：A为对称正定矩阵且0〈W〈2，则SOR收敛。根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为1wG，但要计算wG比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.定理1：设,01,2,....nnijijAaRain，则解方程Ax=b的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.定理2：若nnAR对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法1kkxGxf对nxR迭代收敛.对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，二、雅克比迭代法11112211211222221122.....................nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb0iia112211112211222211111...1...............1...nnnnnnnnnnnnxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaAx=b1kkxBxf（f=b）由方程Ax=b解得：11,1,2,3.....niiijjjiijixbaxina9对该方程应用迭代法即得解方程组Ax=b的雅可比迭代公式（分量形式）1k11,1,2,3.....k=012......nkiiijjjiijixbaxina，，，1112121221,1,1000+00nnnnnnnnaaaaaALDUaaaa11(),f=bBDLUD三、高斯-赛德尔迭代法11112211211222221122.....................nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb0iia(1)(1)()()()11211331441112(1)(1)()()()22112332442222(1)(1)(1)()()33113223443333(1)1()1()1()............1(kkkkknnkkkkknnkkkkknnknnnxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaa(1)(1)(1)(1)11223311)kkkknnnnnnnxaxaxaxb应用迭代法即得解方程组Ax=b的高斯-赛德尔迭代公式（分量形式）j-11k+1k111,1,2,3.....k=012......nkiiijjijjjjiiixbaxaxina，，，11,f=bBDLUDL4、逐次超松驰迭代法（SOR法）10(1)()(1)()()()111211331441112