数值分析第二版(朱晓临)期末真题汇总

第一章有效数字，相对误差限1、要使397的近似值*x的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*x至少应具有几位有效数字？解设*x至少应具有l位有效数字.因为34597,所以397的第一个非零数字是4，即*x的第一位有效数字14a，根据题意及定理1.2.1知，3**1114971122410100.01%10llxax，解得5lg850.9034.097l.故取5l，即*x至少应具有5位有效数字。第二章范数，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法（G-S迭代），收敛，迭代矩阵，迭代步数一、11niixx；12221()niixx；1maxiinxx11()nppipixx；12211nnijFijAa；111maxnijjniAa列和；A111maxnijinjAa行和；2()HAAA，其中1()maxHiinAA，i为HAA的特征值，()AA矩阵的条件数1()1condAAA，谱条件数：1222()condAAA二、Jacobi迭代：ALDU；111()iixIDAxDb；Gauss-Seidel迭代：111()()iixLDUxLDb；超松弛迭代11iiixxr1、3548A，则A12，1Cond()A39.2、设T(2,5,7,3)x，2345A，则2x87，1||||x2+5+7+3，1Cond()A36.3、(1)对下列方程组建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。123123123321015,1045,21078.xxxxxxxxx(2)要达到精度510，试估计上述所建立的收敛的Gauss-Seidel迭代格式需要的迭代步数；取初值(0)(0)(0)TT123((0,0,0),,)xxx.(注：向量范数都用l范数)解(1)调整上述方程组的次序，得1231231231045,21078,321015.xxxxxxxxx(*)据此建立Gauss–Seidel迭代公式（把等号右边的k+1换成k就是Jacobi迭代格式）(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)31211011011045,278,3215.kkkkkkkkkxxxxxxxxx因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Gauss–Seidel迭代公式所产生的序列(){}kx都收敛。(2)因为方程组(*)的系数矩阵104100010000412107200010000732103200010000ALDU，所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为BG1025110()0225172501312583500GBDLU.max025110,02251725,0131258350019250.76GqB用Gauss-Seidel迭代法迭代一次得：T(1)0.5,0.9,1.47x，(1)(0)max0.50,0.90,1.4701.47xx5(1)(0)(1)10(11925)19lnlnlnln48.561.4725qkqxx故需要迭代49次。4、已知线性方程组123123123422,250,3261.xxxxxxxxx(1)分别写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式的迭代矩阵JB和GB.(2)计算范数1JB和1GB，判断求解上述方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式是否收敛？(3)若都收敛，哪个迭代格式收敛速度更快？解(1)因为原方程组的系数矩阵412000400012251200050001326320006000ALDU，所以1101412()2501512130JBDLUIDA，（D-1对角线上的元素正好是对应的原矩阵对角线上元素的倒数）101412()0110001912014GBDLU(2)因为19110JB，1314GB，所以解原方程组的Jacobi迭代格式和Gauss–Seidel迭代格式都收敛。(3)因为11JGBB，所以Gauss–Seidel迭代格式比Jacobi迭代格式收敛速度更快。5、已知线性方程组1231231231041,21072,32103.xxxxxxxxx(1)写出求解上述方程组的Gauss–Seidel迭代格式。(2)写出求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵JB。(3)计算范数JB，判断上述Jacobi迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到精度410，Jacobi迭代法所需的迭代步数；取初值T0(0,0,0)x.解(1)求解上述方程组的Gauss–Seidel迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)31211011011041,272,323.kkkkkkkkkxxxxxxxxx(2)因为原方程组的系数矩阵104100010000412107200010000732103200010000ALDU，所以求解上述方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为11025110()150710310150JBDLUIDA.(3)因为9101JB，所以解原方程组的Jacobi迭代格式收敛。用Jacobi迭代法迭代一次得：T(1)0.1,0.2,0.3x，(1)(0)max0.10,0.20,0.300.3xx4(1)(0)(1)10(1910)9lnlnlnln97.840.310qkqxx故需要迭代98次。6、若迭代函数()x在有限区[,]ab上满足下列两个条件:○1对任意的[,]xab，有()[,]xab；○2()x在[,]ab上存在，且()0,|()|1xxL。试证明：(1)对任意初值0[,]xab，由迭代格式1()(1,2,)kkxxk产生的序列{}kx收敛到方程()xx的根*x；(2)估计式*11kkkLxxxxL成立。(3)函数()x在区间[,]ab上存在唯一不动点*x；证(1)因为*x是方程()xx的根，所以)(**xx.由条件(1)知，1()[,]kkxxab.由微分中值定理及条件得：*****1110()()()()kkkkkxxxxxxLxxLxx因为1L，所以当k时，对任意初值0[,]xab，序列{}kx收敛到*x.(2)****111**11()()()()()()kkkkkkkkkkxxxxxxLxxLxxxxLxxLxx，解得*11kkkLxxxxL.(3)先证：不动点*x存在性.记()()fxxx,由条件有()()0faaa及()()0fbbb.若有上述2个不等式有一个等号成立，则()0fa或()0fb,即()x有不动点;否则必有()()0fafb.因为()()fxxx在[,]ab上连续，所以由零点定理知，必有*(,)xab,使***()()0fxxx,即**()xx,这说明*x是()x的不动点.后证：*x的唯一性.设**12,[,]xxab都是()x的不动点，****1122(),()xxxx，且**12xx，则由Lagrange中值定理，得************121212121212()()()()()xxxxxxxxLxxxx,矛盾!这表明**12xx，即不动点是唯一的.第三章改进的Newton迭代法，二分法，迭代法求方程，Newton迭代法，二重根，弦截法1、(1)设*x是方程0)(xf的3重实根，则求*x的改进的Newton迭代公式为111()3,1,2,()kkkkfxxxkfx。(2)设*3x是方程327159xxx的2重实根，则求*x的改进的Newton迭代公式为321111112111()715922,1,2,()31415kkkkkkkkkkfxxxxxxxkfxxx。（记得－9）2、已知方程32370xx.(1)取初值00.8x，用Newton迭代法求2x.(2)取初值010.8,0.9xx，用弦截法求3x.解(1)3()237fxxx，2()63fxx，据此建立Newton迭代公式311111211()237,1,2,()63kkkkkkkkfxxxxxxkfxx取初值00.8x，则33001022033112122123720.830.870.81.32281,6360.8323721.3228131.3228171.322811.20444.6361.322813xxxxxxxxxx(2)弦截法迭代公式为121112312111331122()()()237,2,3,.237237kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxfxfxfxxxxxxkxxxx取初值010.8,0.9xx，代入上式计算得：231.28719,1.17725xx3、(1)设2[,]fCab，*x是方程()0fx的单根。写出求*x的Newton迭代格式；并证明求*x的Newton迭代法至少是平方收敛的。(2)取初值011.5,1.6xx，用弦截法求方程3210xx在01.5x附近的实根*x.（只迭代两次）。解4、(1)设2[,]fCab，*x是方程()0fx的m重根(2)m。写出求*x的改进的Newton迭代格式；并证明求*x的改进的Newton迭代法至少是平方收敛的。(2)用弦截法求方程2(1)10xx在0.4附近的实根*x的近似值3x.（取初值010.4,0.45xx.）(1)证（(3.4.4)即f(x)=(x-x*)mg(x),limx→x*g(x*)≠0）(2)解弦截法格式为121112212111221122()()()(1)1,2,3,.(1)1(1)1kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxfxfxfxxxxxxkxxxx取初值010.4,0.45xx，代入上式计算得：230.466615,0.465555xx.5、(1)用改进的Newton迭代法求方程432330xxxx的重根，取初值02x，求21,xx.（要求先验证重根的重数。）(2)用弦截法求上述方程的单根，取初值010.5,0.4xx，求23,xx.解(1)记432()33fxxxxx，