数值积分例题

例确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明其代数精度。hhhfAfAhfAxxf)()0()(d)(101解因为求积公式hhhfAfAhfAxxf)()0()(d)(101有,,1,01AAA3个未知数，设求积公式对于2()1,,fxxx均准确成立，有10111223112000(2/3)AAAhhAhAhAhAh解之，得101141,,,333AhAhAh于是有求积公式hhhfhfhhfhxxf)(3)0(34)(3d)(，其代数精度至少为2次。将3()fxx代入求积公式，左边＝右边＝0，公式准确成立。将4()fxx代入求积公式，左边＝525h，右边＝523h，公式不准确成立。所以求积公式的代数精度为3次。例确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明其代数精度。21012()d()(0)()hhfxxAfhAfAfh解因为求积公式21012()d()(0)()hhfxxAfhAfAfh有,,1,01AAA3个未知数，设求积公式对于2()1,,fxxx均准确成立，有101112231140(16/3)AAAhhAhAhAhAh解之，得01148,33AhAAh有求积公式224()d[2()(0)2()]3hhhfxxfhffh，其代数精度至少为2次。将3()fxx代入求积公式，左边＝右边＝0，公式准确成立。将4()fxx代入求积公式，左边＝5163h，右边＝5645h，公式不准确成立。所以求积公式的代数精度为3次。例确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明其具有的代数精度。)2()()0(d)(23010hfAhfAfAxxfh解求积公式)2()()0(d)(23010hfAhfAfAxxfh，有,,2,10AAA三个未知数，令求积公式对2,,1)(xxxf均准确成立，有22221221210942923hhAhAhhAhAhAAA解之，得hAAhA49,0,43310。所以求积公式hhhfhfxxf30)2(49)0(43d)(，其代数精度至少为2次。将3)(xxf，代入求积公式，左边=4481h，右边=418h，左边≠右边。求积公式只有2次代数精度。例在区间[,]hh上取节点,0,，确定及求积系数，构造代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。解设求积公式为()d()(0)()hhfxxAfBfCf，因有A、B、C、四个未知数，令求积公式对于23()1,,,fxxxx均准确成立2(1)ABCh0(2)AC2232/3(3)ACh330(4)AC因式(2),(4)不独立，取4)(xxf，4452/5(5)ACh由2式，0，有CA，又式（5/3），4532222/253AhhA，35h，由5式，59ACh，由1式，89Bh，所以，求积公式53853()d()(0)()95995hhfxxhfhhfhfh，验算代数精度，将5)(xxf代入求积公式，左边=右边。6)(xxf代入求积公式，左边≠右边。所以，求积公式代数精度为5次。例确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明其具有的代数精度。hhxBfhAfxxf)()(d)(1解求积公式hhxBfhAfdxxf)()()(1，有1,,xBA三个未知数，令求积公式对2,,1)(xxxf均准确成立，有1223120(2/3)ABhhAxBhAxBh解之，由第2个方程有1hAxB，代入第3个方程，有2223223hAhABhB，化简，得223AAhB，将第1个方程2BhA代入22(2)(2)3hAAAhhA，解之hxhBhA31,23,211所以求积公式为hhhhfhhfxxf)31(23)(21d)(，其代数精度至少为2次。将3)(xxf，代入求积公式，左边=0，右边=494h，左边≠右边。求积公式只有2次代数精度。导出左矩形公式baafabxxf)()(d)(的余项。解将)(xf在ax处进行泰勒展开，))(()()(axfafxf其中ba,，且依赖于x，即)(f是依赖于x的连续函数。对上式两边在ba,上积分，有babababaxaxfafabxaxfxafxxfd))(()()(d))((d)(d)(左矩形公式的余项babaLxaxfafabxxfRd))(()()(d)(ax在ba,上不变号，由广义积分中值定理知，至少有一点ba,，使babaLxaxfxaxfRd)()(d))((即21()(),[,]2LRfbaab例题至少取多少？试问划分数要使得截断误差不超过公式计算用复化如果用复化梯形公式和对于定积分例nxdxI5201021,Simpsonsin1.2.5254102148sin224],[)(sin)2(1202)(12)(],[52''2''2nnnhfRnfhabhfRTT解得即解：由截断误差有。取故解得即由6,1.531.02,31.01021sin22880],[)(sin)(288002)(2880)(],[54)4(4)4(4nnhhhfRhfhabhfRSS例6.3试确定求积系数A,B,C使具有最高的代数精度解:分别取f(x)=1,x,x2使求积公式准确成立,即得如下方程组。所得求积公式为：11)1()0()1()(CfBfAfdxxf3202CACACBA对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4就不准确了，所以此求积公式3次代数精度。)1(31)0(34)1(31)(11fffdxxf例6.14用复化梯形公式计算定积分才能使误差不超过10dxeIx51021解:取,则,又区间长度b-a=1，对复化梯形公式有余项xexf)(xexf)(52210211121)(12)(enfhabxRT即,n≥212.85，取n=213，即将区间[0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过。52106en51021问区间[0,1]应分多少等份