Z变换

1计算机控制系统的数学描述2Z变换1定义对上式拉氏变换引入复变量，并令Tf(t)连续信号f*(t)离散信号0*()()()(0)()()()(2)(2)kftfkTtkTftfTtTfTtT(3)(3)fTtT23*()[*()](0)()(2)(3)sTsTsTFsLftffTefTefTe0()ksTkfkTesTze1ln*()()szTFsFz120()(0)()(2)()kkFzFfTzfTzfkTz3Z变换的特点：1.得到的F（z）是z的幂多项式（有理分式），便于研究2.z-1对应于（t-T），z-k对应于（t-kT），z-1时间上延迟一个周期，z-k延迟k步，便于差分方程描述F（z）的表现形式：11101110()()mmmnnnKzdzdzdFzzCzCzCmn11()()()()()()()mnKzzzzKNzFzDzzpzp110110()()1nmnmnmnnkzdzdzFzczcz第三种形式在L变换中没有，用z-1描述4求Z变换方法1）级数求和法•求指数函数的z变换()tfte*20()()()()(2)kTTTkftetkTtetTetT1220()()1kTTkFzfkTzezez11()1TTzFzezze11Tez52）部分分式展开法——查表法10111111()()()mmnmminninnibsbsbsbABsFsAssasasasp12202122()()CCsDFsCsssAsB线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统）f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），分别查表，得到z变换式，再求和。1ln*()()szTFsFz注意：一般不能用6Z反变换1*[()]()()ZFzftfkT1[()]()ZFzft只能得到采样点上的值f（kT）！不能得到f（t）7Z反变换求法1）长除法(幂级数展开法，按照z-1升幂排列)12()(0)()()()kFzffTzfzTzfkTz*()(0)()()()(2)(2)()()ftftfTtTfTtTfkTtkT*()11()29(2)67(3)145(4)fttTtTtTtT得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析82.查表法(部分分式展开法)1212()nnAzAzAzFzzzzzzz(F(z)无重根)F(z)分母上往往有z,对应查表方便32211156()(2)(1)zzzFzzz2()2920(1)12zzzFzzzz2/tT9*1()t/20*2tT()29*1()20*2,0,1,2kfkkkk例：求的Z反变换解：对应的连续函数：()29*1()20*2tfttt9如果不能分解为分母上带z的形式，利用12112()()nnAzAzAzFzFzzzzzzzz或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k）得到的f（k）=f1（k-1）例：表中没有令：查表得：1()2Fzz1()()2zFzFzzz1()2kfk11()(1)2kfkfk10Z变换基本定理一，线性特性二、时域位移定理三、初值定理四、终值定理**1212[()()]()()ZaftbftaFzbFz11二、实位移定理1.右位移(延迟)定理2.左位移(超前)定理[()]()nZftnTzFz10[()]()()nnkkZftnTzFzfkTz12三、初值定理0lim()lim()(0)kzfkTFzf120()()(0)()(2)kkFzfkTzffTzfTz证明：当z趋于无穷时，两边取极限，z，z-10上式成立13四、终值定理11lim()lim(1)()kzfkTzFz终值定理成立的条件:1(1)()zFz在单位圆上和圆外没有极点，f（k）收敛例：发散，不能使用终值定理若用：稳定，结论错误原因：单位圆外有极点(),()2,2kzFzfkkz1111()lim(1)lim022kzzzzzfkzzzz14脉冲传递函数1定义()()()CzGzRz()()()CzGzRz()[()]1RzZt()()()()[*()]CzGzRzGzZht**()(),()()rttctht若(零初始条件)或15如何由G(s)求G(z):（1）对G(s)做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应1()[()]htLGs0*()()()khthkTtkT（2）对h(t)采样，求得离散系统脉冲的响应（2）对h*(t)作z变换，得离散系统脉冲的响应G(z)0()[*()]()kkGzZhthkTz()[*()][()][()]GzZhtZhtZGs几种记法：16G(z)的特点•从采样开关到采样开关•h(t),G(s),G(j)与h*(t),G(z),G(ejT)的关系脉冲响应函数h(t)G(s)L变换S=jG(j)F变换Th*(t)Z变换G(z)G(ejT)F变换z=ejT17G(z)的物理可实现条件10111()mmmnnnbzbzbGzzazanm，可实现条件例：()(),()()()1YzzGzzYzzRzRz若r(t)=(t),R(z)=1,则Y(z)＝z,y(t)=(t+T)输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上不存在r(t)=(t)t0-Ty(t)182差分方程与脉冲传递函数12()(1)(2)()nckackackackn01()(1)()mbrkbrkbrkm10()()()nmijijckackibrkj10()()()nmijijijCzazCzbzRz00()()()1mjjjniiibzCzGzRzaz1()1niiizaz为该系统的特征多项式差分方程脉冲传递函数Z变换Z反变换零初始条件下：193开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关）一、采样系统中连续部分的结构形式图（a）—连续输入,连续输出()()()CsGsRs图（b）—连续输入,采样输出*()[()()]*CsGsRs()[()()](),GR(z)()()CzZGsRsGRzGzRz一般图（c）—采样输入,采样输出()()()CzGzRz即图（d）—采样输入,连续输出()()()CzGzRz20注意：1212()()()GzGzGGz1211(),()1GsGsss21211()()()1(1)()TzGzGzGzZZsszze121(1)()[()()](1)(1)()TTezGzZGsGsZsszze例：两者结果不同，但它们的极点相同，仅零点不同仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（延迟时间为T的整数倍）时，等式成立1212()()()GzGzGGz21注意：并不是所有结构都能写出环节的离散脉冲传递函数，如图（b），只能写出输出的表达式只有当输入及输出均有采样开关，或者说，均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。22二、串连环节的脉冲传递函数(a)(b))()()()()(21zGzGzRzCzG12()[()]()GzZGsGGz)()()(21sGsGsG23三、并联环节脉冲传递函数1212()()()()[()][()]()CzGzGzGzZGsZGsRz依据Z变换的线性叠加原理24四、有零阶保持器时的开环脉冲传递函数001()()()()sTheGsCsGsGss000()()1()[()]()sTsTGseGseGzZGsZGsZZsss11000()()()(z)(1)GsGsGsGZzZzZsss254闭环系统脉冲传递函数1.独立环节：在计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间的环节（不管其中有几个连续环节串联或并联）只称为1个独立环节。2.若闭环系统输入信号未被采样，则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。3.若误差信号被采样，则认为输入、输出信号都有采样信号，即*()*()*()etrtct26反馈通道有采样开关G(s)F(s)R(s)TY(s)Y(z)Y(z)TT_E(s)E(z)G(z)()()()YzGzEz()()()()()()()()EzRzFzYzRzFzGzEz()()1()()RzEzFzGz()()()1()()GzYzRzFzGz()()1()()GzWzFzGz闭环：输出:27()()()EzRzBz()[()()]()()()BzZGsHsEzGHzEz()()()()EzRzGHzEz()()1()RzEzGHz()()()()()1()GzCzGzEzRzGHz误差信号被采样相当于输入信号有采样()()()()1()CzGzzRzGHz反馈通道无采样：需要加虚拟开关28一般规律：()1zCzz前向通道所有独立环节变换的乘积闭环回路中所有独立环节变换的乘积（1）输入作为一个连续环节看待。（2）若存在，则可写出闭环系统的脉冲传递函数，否则写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。()Rs()Rz29123()()1()()RzEzGzGGHz123123()()()()1()()GzGGzCzRzGzGGHz123123()()()()()1()()GzGGzCzzRzGzGGHz