弹性力学-本构关系

§4-1物体的弹性性质和广义胡克定律§4-2线弹性材料的本构关系第四章本构关系§4-3各向同性线弹性材料的物理方程一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：ijijf应力与应变张量均为六个独立分量。则123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzzxzxxyzxyyzzxffffff§4-1物体的弹性性质·广义Hooke定律一.弹性的概念如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。ijijf受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccc56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccc称为广义胡克定律的一般形式呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。ijijf二.广义胡克（Hooke）定律即广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。其中ijklc——称为弹性常数，共81个系数，因各六个独立，缩减为36个独立的常数。ijij、ijklccmn和cijkl的下标对应关系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222，c56c2331矩阵表示形式：C——分别称为应力和应变列阵、C——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个其中张量表示形式：ijijklklc§4-2线弹性体的本构关系如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0(ij)为物体单位体积的变形能（应变能）。0ijijU——Green公式ijijf000000,,,,,xyzxyyzzxxyzxyyzzxUUUUUU由012xyxyUc021yxxyUc1221cc同理1331cc1441cc1551cc即mnnmcc5665cc弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数111213141516222324252633343536444546555666xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccccccccccccccc对称广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。弹性对称弹性对称方向弹性对称方向弹性主轴弹性主轴一.横观各向异性材料相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。xyz弹性对称面OP(x,y,z)P(x,y,-z)y设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。C其中[C]为各向异性的弹性矩阵现将z轴反向，考察其本构关系xz仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。体内一点P(x,y,z)的应力和应变为{}和{}。则在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变C但P点坐标和应力应变分量发生变化由坐标变换TxyzxyyzzxTxyzxyyzzx两坐标系三轴的方向余弦为xyzx100y010x00-1代入上式C由CC比较得15162526353645460cccccccc例如比较[C]和[C]中的第一行1111213141516nccccccc1111213141516nccccccc15160cc横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为1112131422232433344455566600000000xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccccccc对称将y轴反向，不产生新的结果。将x轴反向，仿前分析步骤可得14162426343646560cccccccc二.正交各向异性材料xyzP(x,y,z)O设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、y、z三方向弹性性质各异。具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为111213222333445566000000000000xxyyzzxyxyyzyzzxzxccccccccc对称正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。工程上一般用三个弹性模量（Ex、Ey、Ez），三个泊松比（Poisson）（xy、yz、zx）和三个切变模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。三.横观各向同性材料具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有弹性对称轴）的物体，称为横观各向同性材料。yzxxyzO设体内每一点存在一轴（z轴），在与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线方向的弹性性质均相同。称该平面为各向同性面。在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤，1122556613234411121,,,2ccccccccc设xy平面绕z轴旋转任意角度，旋转前后应力应变关系不变，比较其弹性常数可得1112131113331112555500000000010020xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccc对称所以，横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性材料。工程上一般用两个弹性模量（Exy、Ez），两个泊松比（xy、z）和一个切变模量（G）表示。四.各向同性材料在横观各向同性的基础上，将z轴反向，考察其反向前后的应力应变关系可得223344665522231,,2ccccccc111212111211111211121112000000000100210212xxyyzzxyxyyzyzzxzxcccccccccccc对称所以，各向同性材料的广义胡克定律可表示为各向同性材料独立的弹性常数只有2个§4-3各向同性线弹性材料的物理方程一.广义胡克定律的基本形式对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开令111211121112111211121112121212xxyzxyxyyyzxyzyzzzxyzxzxcccccccccccc12111212cGcc222xxxyxyyyyzyzzzzxzxGGGGGG则其中kkxyz张量形式2ijijijG（注：Lamé原文所用符号为和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lamé常数实际上被定义为切变模量G）、G称为拉梅（Lamé）常数此即广义胡克定律的基本形式，该形式数学表述简练，便于理论推导应用，但力学意义不能一目了然，不便于工程运用。二.广义胡克定律的工程形式将前六式反解，并令322GGEGG则111111xxyzyxyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG此即广义胡克定律的工程形式，其中常数E、G和是广为熟知的弹性模量、切变模量和泊松比。仅两个独立。张量形式其中kkxyz由322GGEGG21112EEG1()ijijijijE得若用应变表示，反解或由基本形式代入即得112211122111221xxyzyzyyzxzxzzxyxyEEEEEE或2ijijijGE三.体积胡克定律由2iiiiiiGE即132GE描述了体积应力和体积应变的关系令K称为体积弹性模量131212KGE故K称为体积胡克定律32GE张量形式1112ijijijE或2112ijijijEGmm11112222ijijijijijsGGGG所以12ijijesG当ij时，因1100JJ三式相加为恒等式即六对量仅五个关系补充一个关系——体积胡克定律故12ijijesG1K四.广义胡克定律的偏量形式m12112323ijijijijijijijijeGEEGE此形式便于塑性分析五.弹性常数的关系前述广义胡克定律的各种形式，涉及的弹性常数有五个（E、、G、、K），但其中仅两个独立。各量可相互表出。弹性常数互换表E、E、KE、GE、KGE21EE1(12)E12EE22EGGG23GEGGE3GEGEE2EH34EH32EH2KEKE3KEKE3KKEKEK2229HEE注：、KG、G、K、K、、GKGE21GG212G2112G1(12)(12)2