弹性力学与有限元法习题集

2020/2/8slide1弹性力学与有限元法习题集与参考答案单丽君大连交通大学2009年10月2020/2/8slide2第一章第二章第三章第四章第五章参考试卷2020/2/8slide3第一章习题与答案1.有限单元法的含义？2.有限单元法的解题思路？答案返回3.有限单元法的优点？2020/2/8slide41.有限单元法的含义？答：用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。2.有限元法的解题思路？答（1）网格划分；（2）单元分析；（3）整体分析。3.有限元法的优点？答（1）物理概念清晰，便于入门；（2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序；（3）有较强的灵活性和适用性。返回2020/2/8slide5第二章习题与答案1.试说明弹性力学的基本假设？2.弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？3.虚功原理内容？答案返回2020/2/8slide64.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？yxxyxyyx222226.应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。答案返回2020/2/8slide77.悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，应力分量表达式为，试检验这些应力公式是否满足变形协调方程？xyaxyyxaqx233356242143433ayayqxy，22442223565138yayayaxaqxy答案返回2020/2/8slide88.下图示梁作用有分布载荷q(x)，体力忽略不计，已知，其中M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡方程式，求应力。答案返回2020/2/8slide91.试说明弹性力学的基本假设？答（1）假设物体是线性弹性的；（2）假设物体是连续的；（3）假设物体是均匀的，各向同性的；（4）假设物体的位移和应变是微小的。2.弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？答：弹性力学平面问题的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。平衡方程表征：应力与外力的关系。几何方程表征：应变与位移的关系。物理方程表征：应力与应变的关系。3.虚功原理?外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力乘虚应变的虚变形功（或虚变形能）。1、2、3.题答案返回2020/2/8slide104.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？答：（1）在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板；（2）在受力状态上，面力都只作用在板边上，且平行于板面，并且不沿厚度变化，体力也平行于板面，且不沿厚度变化；（3）σz=0，εz≠0。5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？（1）在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它们的长度要比横截面的尺寸大得多；（2）在受力情况上，它们都只受有平行于横截面，且沿纵向长度均布的面力和体力。有的在纵向的两端还受有约束。（3）εz=0，σz≠04、5.题答案返回2020/2/8slide11yyxyxyyx22222xuxyvyyuxvxyyxuyx22322yxuyxyxvxy22322xyvxyxyuxvxxy22223232yxuxyvyxxy由：，，，，，（1）式+（2）式得：23232222yxuxyvyxxy即：yxxyxyyx22222证毕6.题答案返回2020/2/8slide12答：214a3y4ayqxxya562xyyx4aqE1E1332333yxxxya562xyyx4aq214a3y4ayqxE1E1233333xyy22442223xyxyya56ya51ya3x8aqE12E1232222Ea13qxyxyyx3y2Ea13qxyyxxyxxy22222xyyx所以，即应力公式满足相容方程7.题答案返回2020/2/8slide13解：8.题答案返回2020/2/8slide14*11211)(zAAxASIdMMdAyIdMMdAIydMMdASN*111zAxASIMdAyIMdASN同理在顶面rp上切向内力系的合力：dxdyx''取截面下的物体为分离体0X0'**dxSIMSIdMMyxzz)4(2)(21)4()()(2222121*2'ynIxQynIxQdyyIxQISdxdMnyyx返回2020/2/8slide15由剪应力互等定理，)4(2)(22'ynIxQyxyx0Y0)(dydxdydxxdxdyyxyyxyxyyy)2(2)()2(21)()2(2)(222222ynIxqynIdxxdQynIxQxyxyy)443(6)()2(2)(332222nyynIxqdyynIxqnyy)()(xqdxxdQ)()(xQdxxdMIzMy返回2020/2/8slide16第三章习题与答案1.为满足解答收敛性要求，选择位移模式应满足什么条件？2.弹性体在进行单元划分时，应注意什么问题？答案返回2020/2/8slide173.试说明图示工程实例的约束如何引进整体刚度矩阵？答案返回2020/2/8slide184.计算出图示单元节点的编码方式下的三角形ijm的面积Ｓ△ijm的值。5.试证明:三结点三角形单元内任意一点有：xxNxNxNmmjjii6.“在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小越好”，这句话对吗？试说明理由。答案返回2020/2/8slide197.试证明平面三角形三结点单元的位移模式：yaxaayxvyaxaayxu654321,,含有刚体位移状态。9.试在图示的网格划分图上标上合适的结点编码，使其有限元计算时的半带宽最小，并计算其半带宽。8.简述有限元计算结果如何整理？答案返回2020/2/8slide2010.一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。已知单元①的编码顺序为（1，3，4），单元②的编码顺序为（1，2，3）。试分别写出：（１）单元①的刚度矩阵；（2）单元②的刚度矩阵；（３）总刚矩阵的表达式。①②答案返回2020/2/8slide2111.试用“*”表示非零子块，用“0”表示零子块，写出图示已划分单元弹性体的总刚矩阵。12.图（a）、(b)所示是同一结构的两种不同的网格划分方法，试计算两图的半带宽，并说明哪种划分方法比较合理，为什么？答案返回2020/2/8slide2213.已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2，2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm及单元的应变矩阵。答案返回2020/2/8slide2314.图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设61试求：（1）形态矩阵[N]；（2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S];（3）单元刚度矩阵[k]e答案返回2020/2/8slide2415.如图所示单元，在jm边上作用有线性分布的水平载荷，试求其等效结点载荷。单元的厚度为1cm。答案返回2020/2/8slide2516.如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。答案返回2020/2/8slide2617.如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。答案返回2020/2/8slide2718.如图所示固端梁受集中力P作用，取61,按平面应力问题计算，求图示单元的结点位移。答案返回2020/2/8slide281.答：（1）位移模式应包括单元的刚体位移状态和常量应变状态，满足这个条件的单元为完备单元。（2）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移是连续的，这种连续性称为协调性或相容性；条件（1）是收敛的必要条件，条件（1）+（2）是收敛的充分条件。2.答：（1）单元的大小：重要部位、易发生应力集中、应力位移变化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的部位单元划大些。（2）单元形状：应力及位移的误差与单元的最小内角正旋成反比。（3）结构厚度和弹性常数有突变时的单元划分：把厚度和弹性常数有突变线作为单元的分界线，不能使突变线穿过单元。1、2题答案返回2020/2/8slide29答：（1）将整体刚度矩阵[K]中的第1行、第3行、第5行、第6行的主对角线元素改为1，将第1行、第3行、第5行、第6行非对角线元素改为0；（2）为了保持[K]矩阵的对称性，将第1列、第3列、第5列、第6列非对角线元素改为0；（3）将1、3、5行对应的载荷向量改为0。3.题答案返回2020/2/8slide3013.54117711412111121Sijmmmjjiiyxyxyx解：4.题答案返回2020/2/8slide31])xxx()xxx()xx[(21x),(x),(x),(ycccxbbbyaaaAyxNyxNyxNjjjjiimmjjiimmjjiimmjjii根据行列式性质有：上式第一项为行列式mmjjiiyxyxyx111第一列代数余子式与第二列各元素相乘等于零，第二项为第二列代数余子式与第二列各元素相乘等于2A，第三项为第三列代数余子式与第二列各元素相乘等于０。所以，有x0x0])xxx()xxx()xxx[(21x),(x),(x),(mmycccxbbbaaaAyxNyxNyxNjjiimmjjiimmjjiimmjjiixxxxmmjjiiNNN即：证毕5.题答案返回2020/2/8slide326.“在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小越好”，这句话对吗？试说明理由。答：这句话不对。因为，从理论上说，单元划分越小，计算结果越精确，但在实际工作中，要根据工程上对精度的要求，计算机容量及合理的计算时间，来确定单元的大小。重要部位、易发生应力集中、应力位移变化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的部位单元划大些。6.题答案返回2020/2/8slide33答：214a3y4ayqxxya562xyyx4aqE1E1332333yxxxya562xyyx4aq214a3y4ayqxE1E1233333xyy22442223xyxyya56ya51ya3x8aqE12E1232222Ea13qxyxyyx3y2Ea13qxyyxxyxxy22222xyyx所以，即应力公式满足相容方程7.题答案返回2020/2/8slide34答：计算结果的整理包括两个方面：（1）各结点的结点位移（2）各单元的应力分量位移：直接用结点位移分量画出结构物的位移图线。应力：采用平均的计算方法，使结构物内某一点的应力更接近实际应力。边界内应力采用绕结点平均法和二单