导数定义

第三章导数与微分微分学的核心——导数与微分1/22第一节导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的物理意义与几何意义五、可导与连续的关系六、小结2/22一、问题的提出1、瞬时速度问题设运动物体的运动方程为s=s(t),则在t与t0之间平均速度Δt)s(tΔt)s(tΔtΔsv0000)()(tttstst0时刻的（瞬时）速度ttsttsΔtΔs)v(tΔtΔt)()(limlim000003/222、切线问题切线——割线的极限位置上的直线T0xxoxy)(xfyCNM的斜率为的割线点处上曲线0MNMC00tanxxyy,)()(00xxxfxf点处的切线的斜率为上曲线0MC.)()(limlimtan0000xxxfxfxykxxx4/22二、导数的定义(双侧)导数定义可记之为的在并且称此极限为），、（或在存在，则称上有定义。若在某个设,limlimlim)(0000000000导数有导数导数存在可导xf(x)yxf(x)y)xx)f(xf(x)Δx)f(xΔx)f(x(ΔxΔyxUf(x)yxxΔxΔx.0000xxxxxxdxdf,dxdy),(xf,y注意“导数为”时不可导，即导数不存在。5/22单侧导数：)(00xfyxx：左导数))()(lim)()(lim(lim0000000xxxfxfxxfxxfxyxxxx).(/00xfyxx：右导数),()()(00或Axfxf),()(0或Axf可导性是局部性质。双侧、单侧导数的关系6/22区间上可导性的定义若f(x)在区间I的内部处处可导，并且在I所含的左（右）端点处右(左)导数存在，则称f(x)在区间I上可导。导函数.)(})(|{dxdf(x),dxdy(x),f,yf(x)yxfxxfxD，可记作的为对应法则的函数叫做以为定义域，存在以导函数.:0000可有两种理解对记号xxxxxxdxdf,dxdy),(xf,y7/22三、由定义求导数例1.)()(的导数为常数求CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即8/22例2.)(sin)(sin4xxx及求解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx44cos)(sinxxxx.229/22例3.)(的导数求Nnxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx一般地)0()(1xx10/22*例4.)1,0(的导数求aaaxhaaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0)1(loglim01ttaatxath))1(lim(log110ttaxtaaaeaxaxlnlog1.ln)(aaaxx即.)(xxee解11/22*例5.)1,0(log的导数求aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.ln1)(logaxxa.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10exalog112/22.ln1ax例6.0)(处的可导性在讨论xxxfxyxyo解,1lim0)0()(lim00xxxfxfxx,1lim0)0()(lim00xxxfxfxx),0()0(ff有.0||)(点不可导在xxxf13/22例7.0)(3处的可导性在讨论xxxf解00lim0)0()(lim3100xxxfxfxx3201limxx.0)(3点不可导在xxxf,14/22四、导数的物理意义与几何意义2、几何意义1、物理意义;))(,()(000的斜率处切线在点为曲线xfxf(x)yxf;)(0的斜率为左切线xf.)(0为xf——因变量关于自变量的变化率。处切线方程为在点曲线))(,(00xfxf(x)y法线方程为;)())((000xfxxxfy).()()(1000xfxxxfy15/22例8.)2,21(1法线方程处的切线方程和在点求曲线xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk211)(xx.4所求切线方程为法线方程为,)21(42xy,)21(412xy.044yx即.01582yx即212xx16/22五、可导与连续的关系定理可导连续.证,)(0可导在点设xxf,)()()(lim0000存在即xfxxxfxfxx.)(0连续在点xxf))()((lim00xfxfxx)()()(lim0000xxxxxfxfxx)(lim)()(lim00000xxxxxfxfxxxx00)(0xf证毕17/22注意:该定理的逆定理不成立.即连续可导连续但不可导函数举例★yy=|x|Oxxyo)(xfyxy2xy0xyyy=f(x)Ox18/22例9011/π－1/πxy.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论xxxxxxf)(lim0xfx)0(fxxx1sinlim0.0)(处连续在xxfxxxxyxx001sin)0(limlim00xx1sinlim0.)(也非不存在.0)(处不可导在xxf解019/22*例10.0）的导数（常数求x时，当0xxxxxxx)(lim)(0解xxxxxx/1)/1(lim01ttxtxxt1)1(lim01/ttttxtt)1ln(lim)1ln(1)1(lim001)1ln(lim)1ln(1)1(lim01)1(0vvttvtvt,1ttt)1ln(lim0而ttt/10)1ln(lim，.)(1xx20/22六、小结1.导数的实质:增量比的极限;2.axf)(0)(0xf;)(0axf3.导数的几何意义:切线的斜率;4.导数的物理意义:变化率；5.函数可导与连续的关系：可导一定连续，但连续不一定可导;6.求导数最基本的方法:由定义求导数.21/22思考题函数)(xf在某点0x处的导数)(0xf与导函数)(xf有什么区别与联系？22/22