z变换的收敛域

§7.3z变换的收敛域•主要内容•重点：几种常见序列的z变换收敛域问题•收敛域的定义•两种正项级数收敛性的判别方法•几种常见序列的z变换收敛域问题一、收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。（Regionofconvergence简称ROC）nnznxzX)()(对于任意给定的序列x(n)，能使与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。下面举例说明以上情况。例1：已知两序列分别为x1(n)=anu(n)，x2(n)=-anu(-n-1)，分别求它们的z变换，并确定它们的收敛域。如果|z|a,则上面的级数收敛，这样得到1101()1nnnzXzazzaazza1101()nnnnnazaz1111zzaazza解：011))(()(nnnzanxZTzX122)())(()(nnnzanxZTzX由上可知，不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。在收敛域内，z变换及它的各阶导数是连续函数。也就是说，z变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即要求可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法和根值判定法。nnznx|)(|1）比值判定法nnnaa1lim。。。不能肯定级数发散级数收敛,1,1,1所谓比值判定法就是说若有一个正项级数，令它的后项与前项的比值等于，即nna二、两种正项级数收敛性的判别方法nnnalim2)根值判定法。。。不能肯定级数发散级数收敛,1,1,1所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n次根等于下面利用上述判定法讨论几类序列的z变换收敛域问题1、有限长序列（有始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值此时z变换为12()nnn当时，收敛域为120,0nn0z当时，收敛域为120,0nnz当时，收敛域为120,0nn0znn2n1x[n]XX三、几类序列的收敛域2121)()(nnnznxzXnnnn2、右边序列:只在区间内，有非零的有限值的序列1nn)(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx其中为收敛半径.可见,右边序列的收敛域是半径的圆外部分。1xR1xR(1)n10n2=∞(2)n10n2=∞1xRz1xzRnnznxzXnnn11)()(1xRz因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为1xzR3、左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列2nn)(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。(1)n1=-∞n20(2)n1=-∞n2020xzR2xzR2xR2xR22)()(nnznxzXnnn2xRz4、双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛12xxRR12xxRR没有收敛域有环状收敛域12xxRR]Im[zj]Re[z例2：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变换,并确定收敛域（ba,b0,a0）。解：12[][][1][][]nnxnaunbunxnxn11()[]()nnzXzxnzzaza22()[]()nnzXzxnzzbzb由例1的结果可直接得到：因为ba,这样得到122()2()()()()()abzzzzXzXzXzzazbzazbazb2()2()()()abzzXzzazbazbRe(z)jIm(z)ab思考题•1.不同的序列可以得到相同的z变换式吗？•2.判别正项级数的收敛性的方法有哪些？•3.序列的形式与双边z变换收敛域的关系？